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第二章 线性方程组 * * 目的： 研究线性方程组的解的结构 向量的线性相关性 向量组的秩 齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组解的结构 内容： 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 一 向量的定义及运算 定义2.1.1 由n个数 a1,a2,…,an 顺序构成的 n元有序数组称为n元向量(或n维向量)， 记为 α=（a1,a2,…,an）, (2.1.1) 称 ai 为向量α的第 i 个分量（i =1,2,…,n）. 2.1 向量的线性相关性 例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 　　 维向量写成一行，称为行向量， 通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量， 通常用　　　　等表示，如： 注意 　　１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 　　２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 　　３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量. 定义 设α =(a1,a2,…,as）β=(b1,b2,…,bt). 若s = t 且ai = bi ( i =1,2,…,s),则称向量α与β相等，记为α=β. 定义2.1.3 (1) 设α =（a1,a2,…,an）,β=（b1,b2,…,bn）是两个n元向量,则称下列向量 （a1+b1,a2+b2,…,an+bn） 为向量α与β的和，记为α +β. （2）设α =（a1,a2,…,an）是n元向量，k是数，称下列向量 （ka1,ka2,…,kan） 的数量乘积，记为 k α . 为数k与向量α 例2.1.1 设α =（a1,a2,…,an）是任一n元向量，则 0 α =（0,0,…0） (-1) α =（-a1,-a2,…,-an） 我们称分量全为零的向量（0,0,…,0）为零向量，记为θ；称向量（-a1,-a2,…,-an）为向量α的负向量，记为 - α. 向量的减法 性质2.1.1 设α ，β，γ是任意三个n元向量,k,l 是任意两个数，则有 （1） α +β=β+ α （2）（ α +β）+γ= α +（β+γ） ?????? （3） α +θ= α （θ 是 n 元零向量） ????? （4） α +（- α ）=θ （5）1 α = α （6）（kl） α =k(l α) （7）(k+l) α =(k α +l α) （8）k(α +β)=k α +kβ 除此之外，向量的线性运算还有下述性质： （1）若k α =θ,则 k=0 或α =θ ???? （2）向量方程α +x=β有唯一解 x=β- α 二 向量的线性相关性 是向量组 的一个线性组合.此时，也称向量β 可由向量组 线性表出. 定义2.1.4 设 是m个n元向量，k1,k2,…，km是任意m个数，称下列向量 例 2.1.3 已知向量组 问 能否由 线性表出？ 则 解 设 由此得 故 可由 线性表出。 能否由 线性表出＜＝＞ (2) 是否有解 表出方式是否唯一 ＜＝＞ (2) 的解是否唯一. 0 , , , , , , , : 2 2 1 1 2 1 2 1 = + + + m m m m k k k k k k A a a a a a a L L L 使 全为零的数 如果存在不 给定向量组 2.1.5 定义 注 则称向量组 是 线性相关的，否则称它线性无关． . 4. 组是线性相关的 包含零向量的任何向量 . , . 5 量共面 向 量相关的几何意义是三 是两向量共线；三个向 义 量对应成比例，几何意 充要条件是两向量的分 它线性相关的 量组 对于含有两个向量的向 . , 0 , 0 , 3. 线性无关 则说 若 线性相关 则说 若 时 向量组只包含一个向量 a a a a a = 例2.1.4 在一个向量组中，如果有一个部分组（即由其中一个部分向量构成的向量组）线性相关，则整个向量组也线性相关. 相关 于是 例 判断向量组是否线性相关。 解 设 则有 （存在不全为零的 使 （1）成立 它们也使（2）成立，