虚数的意义,长知识了.docVIP

虚数的意义,长知识了 from: Ruanyifengs blog 到我写这段话的时候，这篇文儿已经有2552个人分享过了，虽然 到现在只有93个留言还有几句大闲篇，可是我却能感受到很多不一样的声音，为了避免你根本没有耐心看完它或者觉得小儿科，我想让后面分享的人先看完它再评论 1 觉得这篇文章很有用的人，按照评论里的说法，这明明就是高中课本里的解释，毫无新意，你如果用这个能长知识，也许在别人看来，你的知识体系还狠欠缺，在留言里有人推荐我去看一个叫做维度：数学漫步的视频，希望大家都能找来看看，直观生动的就是好接受一点 2 觉得虚数不就是这么回事么，有什么好讲的——嗯，其实基于很多留言的人都提到一个文中并没有解释清楚的东西，我也仔细看了一些相关的研究，很遗憾，我在原作里也没有看到更新的修改，但是的确有些不妥，会给人造成困扰，所以你觉得如果虚数它就是这样的，那么可能你原来的理解也不对，因为你在表达没什么了不起的时候认同了一个错误的概念或者错误的解释方法 3 认为这篇文章是个笑话或者说这篇文章有很大问题的人，我挺希望你们能在除了说它问题大之外最好能解释一下问题出在哪儿，要知道我的专业不是数学（也许你会觉得这叫常识这叫基本功不是数学专业的也应该会），所以对这个的理解应该很片面，但是当时看到真的很喜欢，就想收藏起来，所以希望你们能用专业的知识解答一下，我可以及时的修改，避免后面继续看到和分享的人接受了错误的观念 最后希望你们好人做到底，如果仅仅是一句吐槽而不是想和我说什么的话，请不要勾选评论到原日志，我不求火不求页面访问，每天很多加好友和留言的人有点怕，仅仅是一篇转载日志而已，此后和大家再无交集，所以，先谢谢了 有人在Stack Exchange问了一个问题： 　　我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。 　　中学老师说，虚数就是-1的平方根。 　　 　　可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！ 　　直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？ 　　它有什么用？ 帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！ 下面，我就用自己的语言，讲述我所理解的虚数。 一、什么是虚数？ 首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。 这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。 这相当于两次逆时针旋转90度。 因此，我们可以得到下面的关系式： 　　(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1) 如果把+1消去，这个式子就变为： 　　(逆时针旋转90度)^2 = (-1) 将逆时针旋转90度记为 i ： 　　i^2 = (-1) 这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。 所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。 二、复数的定义 既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。 将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。 只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。 数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。 为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。 三、虚数的作用：加法 虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。 比如，物理学需要计算力的合成。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？ 根据平行四边形法则，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。 这就是虚数加法的物理意义。 四、虚数的作用：乘法 如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。 比如，一条船的航向是 3 + 4i 。 如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？ 45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）： 　　( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i ) 所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。 如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于： 　　( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i ) 这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。 五、虚数乘法的数学证明 为什么一个复数改变