三次自然样条插值的统一表示及计算方法.docxVIP

三次自然样条插值的统一表示及计算方法程义军 1 , 2 ,孙海燕 1( 1. 武汉大学 测绘学院 ,湖北 武汉 430079;2. 75719 部队 ,湖北 武汉 430074 )摘要 :三次自然插值样条常用分段表示法 ,通过三弯距方程进行求解 . 叙述了自然三次自然样条的统一表示方n 1法 , 即 g ( x) = a1 + a2 x + 12 6 δi | x - xi | , 探讨了两种表示之间的联系与性质 , 论述了统一表示的计算方法 .3i = 0关键词 :插值 ;三次样条 ;自然样条中图分类号 : O241. 3文献标识码 : A文章编号 : 1008 - 8423 ( 2007) 01 - 0012 - 04样条函数具有光滑滑连续的特点 ,因而在工程应用及数据插值拟合中应用非常广泛 . 但通常情况下 ,三次样条都是采用分段表示的方法 ,即利用它具有二阶连续导数的特点 ,通过建立三弯距方程求得各节点上的 二阶导数 [ 1 , 2 ] ,进而得到样条多项式在每一段上的系数. 这种方法具有很好的计算稳定性 ,但由于是分段表示 ,直观性不强 ,而且要求各节点按顺序排列 ,如果在中间增加一个节点 ,整个样条就得重新建立 .事实上 , 由于三次样条在整个区间上为三次多项式 , 从而有一种更为通用的表示方式 :n 1g ( x ) = a1 + a2 x + 12 6 δi | x - xi | ,3i = 0这种表示适合于整个区间 , 而且它的一个最大优点就是节点不必按顺序排列 , 从而也更加灵活 , 也容易向多维扩展 [ 3～5 ] . 而根据插值样条的唯一性理论 , 这种表示方式与分段表示法是等价的 , 因而两者之间也必存在 一定的联系 . 本文对两种表示方法间的联系与有关性质进行了分析 , 并探讨了 g ( x ) 的计算方法 .1 三次自然样条的分段表示定义 1[ 1, 2 ]设 a = x x x = b, 若函数满足 :0 1n( i) s ( x )在每个 [ xi - 1 , xi ] ( i = 1, 2,, n )上是次数至多为三次的多项式 ;( ii) s ( x )在区间 [ a, b ]上二阶导数连续 ;则称 s ( x )为 [ a, b ]上关于给定分划的三次样条函数 . 特别在区间两端点处有 s″( x0 ) = s″( xn )为 [ a, b ]上的三次自然样条函数 .= 0, 则称 s ( x )对于给定的函数值 yi = f ( xi ) ( i = 0, 1,三次样条插值函数., n ) , 若 s ( x )满足 s ( xi ) = yi ( i = 0, 1,, n ) , 则称s ( x )为 f ( x )的由定义 1, s ( x )在每个小区间上为三次多项式 , 则 s″( x )在每个小区间上为线性函数 . 设 s″( xi ) =M i ( i =0, 1,, n ) , 对于自然样条 M 0 =M n = 0, 利用插值条件 , 可得 s ( x )在每个小区间上 [ xi - 1 , xi ] ( i = 1, 2,, n ) 的表达式为 [ 1 ] :M i - 1 M i yi - 1 M i - 1 yi M i33s ( x ) =( xi- x ) +( x -xi - 1 )( xi - x ) +( x -xi - 1 )( 1 )+--6 hi6 hihi 6hi 6式中 hi = xi - xi - 1[ 6 ]由定义 1中的第二个条件 , s′( x )在 xi 连续 , 则:收稿日期 : 2006 - 10 - 13.基金项目 :国家自然科学基金资助项目 () .作者简介 :程义军 ( 1971 - ) ,男 ,博士 ,工程师 ,主要从事测量数据处理理论与方法的研究.13第 1期程义军等 :三次自然样条插值的统一表示及计算方法 hi hi + hi +1 hi +1 1 1 11M i - 1+M i+M i +1=yi - 1++yi +1( 2 )--636hihi +1hihi +1( i = 1, 2,, n - 1 )因为 M 0 =M n = 0, 上述方程组可表示成矩阵形式 :T( 3 )RM = Q YTT其中 R 为 ( n - 1 )的方阵 , M = [M 1 , M 2 ,, M n - 1 ] , Y = [ y0 , y1 ,, yn ] , Q 为 ( n + 1 ) ×( n - 1 ) 的矩阵 , 且 Q ij- 1- 1- 1- 1( i =