电磁场教学课件PPT镜像法.pptVIP

d) 若导体球带电q但不接地 这种情况的物理模型为： 则球心有电荷（q- Q) ，则P点的电势为 R o b Q a Q x r r P q-Q 由 得到 顺便计算导体对点电荷Q的作用力： 此时，源电荷Q所受到的作用力来自球面上的电荷，即 从而得到 当aR0 ， ，即近似为两点电荷作用，作用力为排斥力； 当Q靠近球面时， ，此时不论q与Q是否同号，作用力永远为引力，这可由在Q附近的感应电荷与其反号来解释。 就是Q与Q及位于球心处的等效电荷q+Q的作用力之和。 4. 均匀场中的导体球所产生的电势 由于静电屏蔽， 场区域只能在球外。 Solution: 本题的物理图象是在原有的均匀电场 中放置一中性导体球。此时导体球上的感应电荷也要在空间激发场，故使原来的场空间电场发生了变化，如图所示。由此可见，球外空间任一点的场将是一个均匀场和一个球体感应电荷等效的偶极子的场的迭加。 R0 - - - - - - + + + + + + 第一步：用两个点电荷±Q激发一均匀场 点电荷±Q放在对称轴z= ±a处，a很大，Q也很大，在坐标原点附近的区域内。 第二步： 将一中性导体球放在均匀场中 +Q -Q z a a o 这样一来，±Q相当于两个场源电荷，球面上将出现感应电荷，由象电荷来代替它，即 此时+Q在球面上感应的电量为 ，-Q在球面上感应电量为 ，这仍然保持导体球为电中性（不管导体球接地与否）。根据唯一性定理，导体球外的 +Q -Q z a a R0 b b o 电势就是这四个点电荷分别在某点产生的电势的迭加，即 因为aR， 则选 略去 和 即 又因为 皆为小量，应用展开式 则有 第一项恰好等于原均匀场以o点为参考点电势。第二项恰好等于位于o点的电偶极矩为 的电偶极子的电势。 原点附近像电荷代替感应电荷所产生的电偶极矩 5.半径为R0,电容率为ε的介质球置于均匀外电场E0中，求电势分布。 解： 设均匀电场E0方向为Z轴正方向，则E0可看成是由Z轴上两个等量异号电荷激发，一是位于z=-∞处的正电荷Q，一是位于z=+∞处的负电荷-Q。这一对正负电荷的镜像电荷正好组成一个电偶极子位于坐标原点，所以，求球外空间的电势φ1时，可用原点处的电偶极子p代替极化电荷的作用。 (1) 求球内空间的电势φ2时，可以认为介质ε充满整个空间， 极化电荷的作用用z=±∞处的点电荷±Q’代替。这一对 等量异号电荷与激发E0的点电荷±Q处于同一位置，设 总电量为±kQ，则激发的电场为kE0，电势为 (2) 在介质球面上（R=R0），满足 (3) (4) 由(3)可得： (5) 由(4)可得： (6) 联立(5)、(6)解得： 所以， 与课本P49例2结果完全相同，但计算量小得多。 思考： 如果将介质球换成导体球，结果如何？ 导体球表面上的感应电荷同样可用球心处的电偶极子p代替。 (1) (1)式在球面上（R=R0），满足 (2) 由(2)解得： (3) 代入(1)式得： 与课本p.51例3结果完全相同。但计算量很小。 6．有一点电荷 位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为 a 和 b，求空间的电势。 假想电荷应在第 I 象限之外。 要保证互相垂直的两个接地导体板的电势同时为零，应当放几个电荷？ 解：（1）分析： Q （-a, -b, 0） -Q （a, -b, 0） x y O Q （a, b, 0） -Q （-a, b, 0） （2）电势分布 放在 处用镜象法求解的条件是什么？ （3）若两平面夹角 像电荷数 S2 S1 Q §2.4 镜 象 法 Method of images 根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplaces equation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用Poissons equation 求解场分布。 如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一种特殊方法— 称为镜象法