2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析.docVIP

2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数在区间上连续，则是函数的 跳跃间断点. 可去间断点. 无穷间断点. 振荡间断点. 【分析】本题考查间断点的概念、间断点类型的确定、变上限函数求导等知识点。 【详解】由于，所以是函数的可去间断点。故应选（Ｂ）。 （2）如图,曲线段方程为,函数在区间上有连续导数，则定积分等于 曲边梯形面积. 梯形面积. 曲边三角形面积. 三角形面积. 【分析】考查定积分分部积分法及定积分几何意义。 【详解】，其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形的面积。 故应选 （ C） （3）已知则 都存在 　　不存在，存在 存在，不存在 　　　 都不存在 【分析】本题考查偏导数的定义。从偏导数的定义出发即可。 【详解】 而，　　　　 所以不存在不存在； 又，所以偏导数存在。 故应选（Ｂ）。 （4）设连续，，，，为如图所示的阴影部分，则，则 【分析】考查二重积分表示函数求导，用到二重积分计算、变限函数求导。将二重积分在适当坐标系下化为二次积分，进而转化为变上限定积分，然后求导 【详解】用极坐标得 所以。因此应选（A）为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则 （A）不可逆，不可逆. （B）不可逆，可逆. （C）可逆，可逆. （D）可逆，不可逆. 【分析】考查矩阵可逆的概念。 【详解】由于，所以 ， 故均可逆．） 令，可得，即矩阵特征值为,从而矩阵的秩为2,正惯性指数为1; 记 则，故其特征值为，所以矩阵秩为2,正惯性指数为为零； 记 则，故其特征值为，所以矩阵秩为2,正惯性指数为2； 记 则，其特征值为，所以矩阵秩为2,正惯性指数为2； 记 则，故其特征值为，,所以矩阵秩为2,正惯性指数为1; 由于矩阵合同的充要条件是有相同的正负惯性指数，相同的秩，所以应选（D）合同的定义（其中可逆）可得 由于知与同号，所以应选（D）。 评注：判断两个矩阵是否合同，可用定义：存在可逆阵，使得；也可用充要条件：它们的秩与正惯性指数相等；还可以化为二次型进行配方等。 （7）设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为 （A） . （B） . （C） . （D） . 【分析】考查独立的概念、分布函数的计算。 【详解】 故应选（A） （8）设随机变量，且相关系数，则 （A） （B） （C） （D） 【分析】本题考查随机变量的数字特征。利用相关系数的性质可直接得到。 【详解】法一：设，由，知道正相关，得，、 由，得 ,所以 从而。故选择由，得，所以存在常数，使得，从而所以， 而 所以，故应选（D）。 注：相关系数的充要条件是存在常数和，使得。 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数在内连续，则 . 【分析】由题设可知当和时的表达式都是初等函数,故此时是连续的,所以只需利用当时, 连续性来确定的取值. 【详解】由题设知在连续,故有 , 即 , 从而,解得: . （10）函数，求积分 . 【分析】由题设先求出表达式,再计算积分. 【详解】由于,所以 所以 （11）设,则. 【分析】此题是一道简单的二重积分计算.在计算过程中利用对称性可以简化计算. 【详解】法一:由于积分区域关于轴,轴对称,所以有 , ,其中 所以 法二： （12）微分方程满足条件的解. 【分析】本题考查变量可分离的一阶微分方程初值问题。直接将变量分离开积分即可。 【详解】将原方程变形为，积分得 所以方程的通解为，由，可得.所以微分方程满足条件的解为. （13）设三阶矩阵的特征值1，2，2，为三阶单位矩阵，则 . 【分析】本题考查矩阵行列式的性质、互逆矩阵特征值之间的关系。由的特征值求出的特征值便可直接得到所求行列式