【精选】5弹性力学习题课 2课时5弹性力学习题课 2课时.docVIP

5 典型例题 5.1 直角坐标解法 例题1 试列出图 5-1的边界条件。 解：（a）对于图 5-1（a）的问题，在主要边界 y= ± h/2应精确满足下列边界条件： 图 5- 1 在小边界（次要边界）x= 0，应用圣维南原理，列出三个积分的近似条件，当板厚δ=1时， 在小边界处，当平衡微分方程和其他各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。 （b）在主要边界 x=0，b，应精确满足下列边界条件： x=0，σx = -ρgy，τxy =0； x= b，σx =0， τxy = - q。 在小边界 y=0，列出三个积分的边界条件，当板厚δ=1时： 注意，在列力矩的条件时，两边均是对原点O的力矩来计算的。对于y=h的小边界可以不必校核。 例题2 图5-2所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩M =Fb/2的作用，试用应力函数： Φ = Ax3+ Bx2 求解图示问题的应力及位移，设在 A 点的位移和转角均为零。 图 5-2 解：应用应力函数求解： （1）校核相容方程，满足。 （2）求应力分量，在无体力时，得： σy =6Ax+2B， σx =τxy =0。 （3）考察主要边界条件， x= ± b σx =0， τxy =0，均已满足。 考察次要边界条件，在 y=0上：（τyx）y=0 =0， 满足； 得 ； 得 代入，得应力的解答， ， σx =τxy =0。 上述Φ和应力已满足了和全部边界条件，因而是上述问题的解。 （4）求应变分量， ，， （5）求位移分量， 由，对x积分，得： ； 由，对 y积分，得： 将u，v代入几何方程第三式  两边分开变量，并令都等于常数ω，即： 从上式分别积分，求出： 代入u，v，得： 再由刚体约束条件， ，得 ， 得 ， 得 代入u，v，得到位移分量的解答： 在顶点 x= y=0， 例题3 矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载，图 5-3。 图 5-3 试用下列应力函数 Φ = Ax3y3+ Bxy5+ Cx3y+ Dxy3+ Ex3+ Fxy， 求解应力分量。 解：应用上述应力函数求解： （1）将Φ 代入相容方程： ， 72A +120B =0， 得。 由此， （2）求应力分量，在无体力下，得： （3）考察主要边界条件（y= ± h/2），y= ± h/2，τxy =0，得： 对于任意的x值，上式均应满足，由此得： （a） （b） y= h/2， σy =0， （c） y= - h/2，， （d） （c）+（d）得： （c）-（d）得： （e）-（a）得： ， 。 （4）考察小边界上的边界条件（x=0），由： 得： （f） 由式（b）和（f）解出： 另两个积分的边界条件： 显然是满足的。 于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答： 。 读者试校核在 x= l的小边界上，下列条件都是满足的， ，， 5.2 极坐标解法 例题4（习题 4-8） 试考察应力函数能解决图5-4所示弹性体的何种受力问题？ 图 5- 4 解：本题应按逆解法求解。 首先校核相容方程，是满足的。 然后，代入教科书中应力公式（4-5），求出应力分量： 再求出边界上的面力： φ= ±30°面上， ； 面上， 。 面力分布如图5-4b所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。 例题5（习题4-9） 半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数，求解应力分量，图5-5。 图5-5 解：首先检验Φ，已满足。 由Φ 求应力，得： 再考察边界条件。注意本题有两个φ面，即，分别为 ±φ面。在 ±φ面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有： ，得： 代入应力公式，得应力解答 例题6（习题 4-18） 设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力偶矩为M，图5-6，试求应力分量。 图5-6 解：应用半逆解法求解。（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与M，ρ，φ有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。 （2）Φ应比应力的长度量纲高二次幂，可假设Φ=Φ（φ）。 （3）将Φ代入相容方程，得： 删去因子，得一个关于Φ（φ）的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于λ的特征方程： 其解为λ=2i，-2i，0，0。于是得到Φ的四个解；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得： Φ = Acos2φ+ Bsin2φ+ Cφ+ D。 本题中结构对称于φ= 0的x轴，而M 是反对称荷载，因此，应力应反对称于x轴，为φ的奇函数，从而