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§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP Ch2 Dual Problem Page * of 19 * Chapter 2 对偶问题 Dual Problem 1. 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP 2.对偶性质 Dual property 3.对偶单纯形法 Dual Simplex Method 4.灵敏度分析 Sensitivity Analysis 运筹学 Operations Research 在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。 【例2.1】 某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源限量及价值系数如下表： 产品 资源 A B C 资源限量 Ⅰ 9 8 6 500 Ⅱ 5 4 7 450 Ⅲ 8 3 2 300 Ⅳ 7 6 4 550 每件产品利润 100 80 70 ? 建立总收益最大的数学模型。 【解】设x1，x2，x3分别为产品A，B，C的产量，则线性规划数学模型为： 现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。假如企业自己不生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源的转让价格是多少才合理？价格太高对方不愿意接受，价格太低本单位收益又太少。合理的价格应是对方用最少的资金购买本企业的全部资源，而本企业所获得的利润不应低于自己用于生产时所获得的利润。这一决策问题可用下列线性规划数学模型来表示。 设y1，y2，y3及y4分别表示四种资源的单位增殖价格（售价＝成本＋增殖），总增殖最低可用 min w=500y1+450y2+300y3+550y4 表示。企业生产一件产品A用了四种资源的数量分别是9，5，8和7个单位，利润是100,企业出售这些数量的资源所得的利润不能少于100，即 同理，对产品B和C有 价格不可能小于零，即有yi≥0,i=1, …,4.从而企业的资源价格模型为 这是一个线性规划数学模型，称这一线性规划问题是前面生产计划问题的对偶线性规划问题或对偶问题。生产计划的线性规划问题称为原始线性规划问题或原问题。 【例2.2】某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150 单位，C不少于180单位。此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分。已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如下表，试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型。 ? 营养成分 ? 一 ? 二 ? 三 ? 四 ? 五 ? 六 需要量 A 13 25 14 40 8 11 ≥80 B 24 9 30 25 12 15 ≥150 C 18 7 21 34 10 0 ≥180 食物单价（元/100g） 0.5 0.4 0.8 0.9 0.3 0.2 ? 含量 食物 【解】设xj为每天第j种食物的用量，数学模型为 现有一制药厂要生产一种包含A、B、C三种营养成分的合成药，如何制定价格，使得此药既要畅销又要产值最大。 设yi（i=1，2，3）为第i种营养成分的单价，则 影子价格(Shadow price): 上面两个线性规划有着重要的经济含义。原始线性规划问题考虑的是充分利用现有资源，以产品的数量和单位产品的收益来决定企业的总收益，没有考虑到资源的价格，但实际在构成产品的收益中，不同的资源对收益的贡献也不同，它是企业生产过程中一种隐含的潜在价值，经济学中称为影子价格，即对偶问题中的决策变量yi的值。 由后面的对偶性质可知：原问题和对偶问题的最优值相等，故有 即yi是第i种资源的变化率，说明当其它资源供应量bk(k≠i)不变时，bi增加一个单位时目标值Z增加yi个单位。 例如，第一种资源的影子价格为y1=2，第二种资源的影子价格为y2=2，即当第一种资源增加一个单位时，Z增加2个单位，当第二种资源增加一个单位时，Z增加2个单位。 企业可利用影子价格调节生产规模。例如，目标函数Z表示利润（或产值 ），当第i种资源的影子价格大于零 （或高于市场价格）时，表示有利可图，企业应购进该资源扩大生产规模