【精选】11.6谓词逻辑永真公式11.6谓词逻辑永真公式.pptVIP

11.6 谓词逻辑的永真公式 在谓词逻辑中，公式是一个符号串，必须给以具体的解释后才能分辨其真假的可能。 解释：给公式中的个体变元指定一个具体的个体域D 一个公式经解释后才具有具体的意义。 谓词公式的解释I包括： 指定一个论域D(称I为D上的解释) 对A中出现的每一个n元函数，指定一个D上的 n元个体函数常量 对A中出现的每一个n元谓词，指定一个D上的n元谓词常量 对A中出现的每一个个体常量及自由变元，指定D中的一个个体常量 对A中出现的每一个命题变元P，指派一个真值T或F 由此得到一个命题AI，称AI的真值为公式A在解释I 下的真值 例 取解释I如下： D={1,2}, 定义D上的二元谓词P真值为 P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T 则?x?yP(x,y)和?y?xP(x,y) 在解释I下的真值分别为? ?x?yP(x,y) ?y?xP(x,y) 例 取解释I如下： D={1,2}, 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 定义D上的谓词P和Q为 P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式?x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值 谓词公式的永真式 定义 给定谓词公式A，E是其论域，如果在任何解释下公式A的真值都为真，则称公式A在论域E上是永真式。如果不论对什么论域E，都使得公式A为永真式，则称A为永真式。 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合 I(x)在E上是永真式 I(x) ∨? I(x)是与论域无关的永真式 谓词公式的永假式 谓词公式的可满足式 例：试说明以下公式的类型 ?xA(x)→A(y) ?xA(x)→A(y) A(x) (A(x) ：x+6=5) ?x( A(x) ∧ ?A(x)) ?x (A(x)∨B(x)) → ?xA(x)∨?xB(x) ?x (A(x)∧B(x)) ? ?xA(x) ∧ ?xB(x) 永真式的判定 命题逻辑的永真式问题是可判定的。 至少可用真值表 谓词逻辑的永真式问题是不可判定的。 研究谓词逻辑永真式判定问题非常有意义： 联词与量词的关系 问题与否问题的关系 构造证法的一种典型情形 公式形成规则、联词、量词、变元约束等知识点 逐步推演思想 完整地自顶向下逐步求精思想 问题与否问题 问题：所给公式是永真式吗？ 否问题：所给公式不是永真式吗？ 这两个问题有不同的难度 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定解释 问题证明的一般方法 例：试判断?xA(x)∨?xB(x) → ?x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并说明理由。 不妨取 例(续前)：试判断?xA(x)∨?xB(x) → ?x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并说明理由。 总结 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式为假的解释。 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下逐步推演。 在推演过程中，首先考虑以下事实： 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素的对称性避免讨论。 谓词公式的等价 定义 两个任意谓词公式A和B, E是它们共有的论域, 若在任何解释下，A与B作的真值都相同(或者说A?B是永真式)，则称公式A与B在论域E上是等价的。如果不论对什么论域E，都使得公式A与B等价，则称A与B等价，记作A?B。 例：I(x)：x是整数，N(x)：x是自然数，论域E是自然数集合 I(x)与N(x)在E上是等价的 N(x)→I(x) ?N(x)∨I(x) 谓词公式的蕴含 定义 两个任意谓词公式A和B，E是它们的论域，若在任何解释下，都使得公式A→B为永真式，则称在论域E上公式A永真蕴含B。如果不论对什么论域E， A→B是永真式，则称A永真蕴含B，记作A?B。 例：G(x)：x大于5，N(x)：表示x是自然数，论域E={-1,-2,6,7,8,9,....} 在E上公式G(x)→N(x)是永真式 (G(x)∧N(x))→N(x)是与论域无关的永真式，所以(G(x)∧N(x))?N(x) 谓词演算的基本永真公式 命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式 含有量词的谓词演算的基本永真公式 （1） 量词的否定 ??xP(x)? ?x?P(x) （1）＇ ? ?xP(x)? ?x?P(x) （2）＇ 量词转换公式 例 ??x?y?z(x+z=y) ??x??y?z(x+z=y) ??x?y??z(x+z=y)  ? ?x?y ?z?(x+z=y)  ? ?