2007年春季学期《博弈与社会》期中考试试题2007年春季学期《博弈与社会》期中考试试题.pdfVIP

2007 年春季学期《博弈与社会》期中考试 参考解答 解题思路供参考，时间仓促，具体计算可能有纰漏 1． （15 分）考虑下面的博弈，单元格里前后两个数字分别代表甲、乙两人的支付水平： 乙 W X Y A 2,0 1,1 4,2 甲 B 3,4 1,2 2,3 C 1,3 0,2 3,0 (1) 找出所有的纳什均衡（包括混合战略），注意均衡的定义和表述方式（8 分） 纯战略纳什均衡：（B，W ）和（A ，Y ） 混合战略纳什均衡：{(1/3,2/3,0),(2/3,0,1/3)}，第一个小括号里的三个数字分别表示甲选择 A 、B、C 三种行动的概率，第二个小括号里的三个数字分别表示乙选择 W、X 、Y 三种行动 的概率。 (2) 在支付矩阵表中找出所有帕累托最优的支付组合，找出所有卡尔多－希克斯最优的支付 组合（7 分） 所有帕累托最优的支付组合为（3，4 ）和（4，2） 所有卡尔多－希克斯最优的支付组合为（3，4 ） 2. （35 分）考虑下面这个博弈，注意：信息结构为 Ⅰ时，只有图中标注为 Ⅰ的直虚线；信 息结构为Ⅱ时，只有图中标注为Ⅱ的弯虚线。另外，双方的支付用上下的方式标出了，上面 一个数字表示 player 1 的支付，下面一个表示 player 2 的支付： 1 Ⅰ Ⅱ A B C 2 2 2 a b c a b c a b c 4 0 0 0 1 0 5 0 3 4 0 5 0 1 0 0 0 3 (1) 分别在 Ⅰ、Ⅱ的情况下写出 player 1 和 player 2 的信息集，并写出两者各自的所有纯战 略。（7 分） Ⅰ的情况下，p1 的信息集是最上面一个结点，p1 知道自己的可选战略，但不知道 p2 的实 际选择，p2 的信息集是三个标注 2 的结点的组合，p2 知道自己的可选战略，但不知道 p1 的实际选择。 此时，p1 的所有纯战略为A 、B、C，p2 的纯战略为a、b、c Ⅱ的情况下，p1 的信息集是最上面一个结点，p1 知道自己的可选战略，但不知道 p2 的实 际选择，p2 的信息集有两个，一个是最左边一个标注 2 的结点，一个是另外两个标注 2 的 结点的组合，p2 知道自己的可选战略，同时可以知道 p1 是否选择了 A ，但如果 p1 没有选 择 A ，则不能分辨 p1 究竟是选择了 B 还是 C。 此时，p1 的所有纯战略为A 、B、C，p2 的所有纯战略为(a,a)，(a,b)，(a,c)，(b,a)，(b,b)， (b,c)，(c,a)，(c,b)，(c,c)，括号里前一个数字表示当 p1 选择 A 时 p2 的行动，第二个数字 表示当 p1 没有选择 A 时 p2 的行动。 (2) 如果 Ⅰ、Ⅱ情况对应的虚线都不存在，使用逆向归纳法求出上面博弈的子博弈精炼纳什 均衡。（4 分） 由逆向归纳法，SPNE 为{C,(c,b,c)}，在虚线都不存在的时候，p2 的战略是三维的，共有 3 ×3 ×3＝27 个战略 (3) 用标准式重新表示Ⅱ型博弈，并求出纯战略纳什均衡，并讨论其子博弈精炼性。（8 分） a,a a,b a,c b,a b,b b,c c,a c,b c,c A 4,4