变换核函数导出无穷级数恒等式.PDFVIP

第 46卷第6期 数学的实践与认识 Vo1．46，No．6 2016年 3月 MATHEM ATICSIN PRACTICE AND THE0RY M ar．，2016 “变换核函数导出无穷级数恒等式 张来萍，及万会 (银川能源学院基础部，宁夏 银川750105) 摘 要：选取 变“换核”函数，利用复变函数的留数定理给出一些形式各异的无穷级 数恒等式． 关键词： “变换核”；留数；无穷级数；伽马函数；恒等式 1 引言 无穷级数变换有许多文献．著作 [1]收录1000多级数公式，著作 2【]介绍无穷级数求和的 各种技术．文 [3—5】讨论组合数和式问题．文 [6—8]用裂项法给出中心型和非中心型二项 式系数倒数级数封闭型和式问题．无穷级数与数学各个分支紧密联系，也可以说无穷级数与 数学各个分支融合在一起．因此研究无穷级数时常常利用微分，积分，伽马白塔函数，多对数， 发生函数，递推关系等各种数学工具和方法． 我们选取一些 “变换核”函数，证明形式各异的无穷级数恒等式．利用复变函数的留数 定理计算函数在极点的留数，特别是通常多重留数计算公式 而 lim [(z—zo)，()] 失效时，我们选用文 1【1一l2]中2重，3重极点留数公式去计算留数，“变换核”函数在复平 面上围线上积分，得到一些形式各异有趣的级数恒等式． 2 主要结果与证明 命题 1如下无穷级数恒等式成立 茎 +吉薹南 + =案 c 其中x(n)表示模4非本原特征，即x(2n)：0，x(2n+1)=(-1)． 证明 选择变换核函数f(z)= 芒 ， 函数 ，(z)在正向矩形cⅣ『上积分，它的水平边经过 士(Ⅳ+ )t，垂直边经过 iN，其中Ⅳ 是正整数． f(z)在名=0有3重极点，单极点Z=土(2佗+1)／2，Z=~ki． 1)计算 f(z)在Z=0留数，f(z)在 Z=0展开成幂级数 f(z)： sec(Trz) (14-(7r)／2十5(丌z)／24+…) (1-4(Irz)。／2+5(7rz)／24+…) = ———一 z(e 一1) Z227r(1-42~z／2+(27r)／6-4…) 27rz。(1-47rz-42(7r名)／3-4…) 收稿 日期：2015．06．05 资助项目：银川能源学院科研基金项目(2015一KY—Y-49) 通信作者 6期 张来萍，等：变“换核”函数导出无穷级数恒等式 277 一 (1+(~z)2／2+5(丌)／24+…)[1一(丌z+2(7r)。／3)+(7r)+2(7rz)／3)一…] 27rz3 (1一丌z+(丌z)／2—2(7rz)／3+(7r名)0+ …) 1 1 ．57r． = ——————--———--———————————-——-—————-———————--———————-—-———一 = … -{- 一 + … 2丌 21rz 2z 12z 幂级数展开式中 _1的系数就是函数f(z)在 =0的留数，即Res[f；0]=卺． 2)计算 z=(2k+1)／2函数f(z)的留数，用洛必达法则 鼢If；2(k+1)2／】=lim+1)／弗 1 (2尼+1)。／4[e(。+)一1)[-~rs