只要知道坐标向量的混合积-四川大学.pptVIP

解析几何 引言 第一章 向量代数 第二章 直线与平面 第三章 常见曲面 第四章 二次曲面与二次曲线 第五章 正交变换与仿射变换 第六章 平面射影几何简介 附录 矩阵和线性方程组简介 前 言 既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）。我们用符号 表示。 一个向量 可以用有向线段 表示，作图 时都用有向线段。 设有向线段 表示向量 ，则有向线段 的长度 称为向量 的长度或模。记为 。 有向线段从起点到终点的指向称为向量的方 向。 （如图1.1） 我们将代数运算引到向量中去，来研究图形 性质。这种方法具有直观性，更容易理解图形 性质的几何意义，并且它在物理学等中有重要 的应用。此外向量的概念及其运算也为线性代 数中深入理解向量空间提供了直观的几何背景。 这样定义的向量就表示只要两个有向线段 有相等的长度和相同的方向就可表示同一个向 量，与有向线段的起点无关。或者说，向量是 自由的或可以平行移动（保持长度和方向不 变）的有向线段。 同学的简单解法 必要性，由于R是AB的中点，则 而且 故有 充分性，设R是AB的中点，则 由条件 得 于是，点O在中线CR上，并且 因此，点O为三角形的重心。 §2 标架与坐标  各卦限内点的坐标符号如下表。 §3 向量的内积 §4 向量的外积 §5 向量的混合积 唯一性. 若 则得 因为 不共面,所以 例1.1 设A,B是不同的两点,则点P在直线AB上的充要 条件是存在唯一的一对实数 ,使得 （*） 其中,O是任意取定的一点.而P在线段AB上的充要条件是 且(*)成立. 证明 必要性.设P在直线AB上,则 共线, 且 由推论1.1，存在唯一的k使 任取一点O(如图1.8),由上式得 即有 令 因而 且 由k的唯一性知 是唯一的. O A B P 图1.8 充分性.若对某一点O,(*)式成立,则 因而 共线,所以P在直线AB上. 对于后半部分,由于P在线段AB上,所以 同向, 故(*)成立且有 即 ,从而(*)中的 由 因而 即P在线段AB上. 例1.2 如图1.9,已知 及一点O, 试证O是 的重心的充要条件是 证明 必要性.设O是 的重心,P,Q,R分别是三边 BC,CA,AB的中点，则 同理得到 于是 A B C O P Q R 图1.9 充分性。设 ，而 的重心 为 。则由必要性知 。 但是 故