半单李代数的一个特征性质Ξ.PDFVIP

( ) V o l. 21 2001 N o. 3 数 学 杂 志 J. of M ath. (PRC ) 　 半单李代数的一个特征性质 朱林生①② 孟道骥② (① 江苏常熟高等专科学校数学系, 常熟 215500; ② 南开大学数学系, 天津 300071) 　　摘要: 本文给出了中心为零的带非退化对称不变双线性型的有限维李代数的若干性质, 并 由此给出了半单李代数的一个新刻划. 关键词: 半单李代数; 不变内积; Cartan 子代数 M R (2000) 主题分类号: 17B05　17B30　　　　　中图法分类号: 　153. 3 文献标识码: 　 　　　　文章编号: 　0255- 7797 (2001) 03- 0290- 05 A 1　1　引言 半单李代数的分类早在 1890 年就被 K illing 和 Cartan 解决, 但由于它的重要性, 关于 它的研究是数学及理论物理的一个重要课题. 我们知道 K illing 型在半单李代数的研究中起 着至关重要的作用, 遗憾的是对复有限维李代数而言, K illing 型非退化的仅有半单李代数. 于是, 很自然人们开始研究带有带有非退化对称不变双线性型的李代数, (我们称这类李代 ) ( ) 数为对称自对偶李代数 . 并取得了一些进展, 部分参看[2 ] [5 ] [ 6 ] . 但是这类李代数的结 构和实现尚知之甚少. [ 5 ], [ 7 ]显示了对称自对偶李代数在共形场论、 对、 李群 L ax Po isson 等的研究中的重要地位, 因而, 近年来, 对称自对偶李代数的研究越来越受数学家和物理学 家的关注. 本文研究了这类李代数的一些基本性质, 特别研究了中心为零的对称自对偶李代 数的分解唯一性等, 并证明了一个有限维复李代数为半单当且仅当它是中心为零的、其 Cartan 子代数由半单元构成的对称自对偶李代数. 本文讨论的李代数均为复有限维的. 2　基本概念和基本结论 定义 2. 1　一个李代数 g 称为对称自对偶李代数, 如果它带有非退代、对称不变双线性 型 , 这时也称为 为李代数 上的不变内积. B B g 的理想 称为非退化的, 若 是非退化的. 称为不可分解的, 如果 不含有非平 g B ×g g g 凡的非退化的理想. 收稿日期: ( ) 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ; 江苏省教委自然科学基金的资助项目. © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. N o. 3 朱林生等　半单李代数的一个特征性质 291 定义 2. 2　设 和 是 的两个子集, [ , ] 定义为由[ , ],