专题三矩阵理论1.矩阵性质.PDFVIP

  专题三：矩阵理论 1. 矩阵性质 1.1. 交换律 一般来说AB BA ， 【注】矩阵乘法不满足交换律，并不等于说对任意的两个矩阵A 与B ，必有AB BA ． 1 n n 【例 】设A 和B 均为 矩阵，则必有（ ） (A) A B A B . (B) AB BA . (C) AB BA (D) (A B )1 A1 B 1 . 1.2. 消去律 矩阵乘法不满足消去律，即 ① 若AB O ，不能推出A O 或B O ； ② 当 A O 时，由AB AC ，也不能推出B C ． 【注】如果 列满秩，则 有左消去律，即 A A ① AB O B O ； ② AB AC B C 如果A 行满秩，则A 有右消去律，即 ①BA O B O ； ②BA CA B C 2 A,B n 【例 】设 为 阶方阵，满足等式AB O ，则必有（ ） (A) A O 或B O . (B) A B O . (C) A 0 或 B 0 . (D) A B 0 . 1.3. 伴随矩阵 a11 a12  a1n  A11 A21  An1      a a  a T A A  A 设A  21 22 2n ，A* = A  12 22 n 2 称为矩阵 的伴随矩阵，   A      ij          a a  a A A  A  n1 n 2 nn   1n 2n nn  * * A A a AA A A A E 其中 ij 是行列式 中元素 ij 的代数余子式．且有： n . * * (1) AA A A A E 【注】 公式要熟记： n ，线性代数中的许多公式都可以由它推导而来． * n1 * n1 * * * * T * * T * * n2 k k (2)性质：A A , kA k A ,(AB ) B A , A A ,(A ) A A, A * A * .