一类自治脉冲微分方程的动力学研究.PDFVIP

第６卷第２期２００８年６月 动力 学 与控 制 学报 Ｖｏｌ．６Ｎｏ．２ １６７２６５５３／２００８／０６ ／０９７５ Ｊｕｎ．２００８ ⑵ ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬ 一类自治脉冲微分方程的动力学研究 钱临宁　陆启韶 （北京航空航天大学理学院数学系，北京　１０００８３） 摘要　对一类自治脉冲微分方程的动力学性质进行了研究，给出了半平凡周期解的存在与稳定的充分条 件，建立Ｐｏｉｎｃａｒé映射将周期解问题转化为不动点问题．理论分析及数值模拟表明，半平凡周期解通过跨临 界分岔获得稳定的正周期－１解．数值模拟显示，随着控制参数的变化，正周期 －１解通过倍周期分岔出正 周期－２解，再通过一系列倍周期分岔通向混沌． 关键词　脉冲动力系统，　自治脉冲微分方程，　跨临界分岔，　周期解 化为一个一维的离散动力系统，从而得出正周期解的 引言 存在与稳定性条件，并用数值结果加以验证．与文［８］ 脉冲微分方程主要分为三类：脉冲出现在固定 不同的是，详细的理论研究表明，从边界周期解到正 时刻的脉冲微分方程，脉冲出现在变时刻的脉冲微 周期解的分岔是通过跨临界分岔获得，而不是通常的 ［１，２］ 分方程，和脉冲自治微分方程 ．近年来，关于脉 切分岔．最后数值模拟表明，随着控制参数的变化，正 冲微分方程理论的研究多集中于考虑脉冲控制施 周期－１解通过倍周期分岔出正周期－２解，再通过 ［３，４］ 行于固定时刻的情形 ，而对于状态依赖的脉冲 一系列倍周期分岔通向混沌． 控制系统的研究相对较少．然而，在很多实际的控 １　模型的建立 制问题中，脉冲不是发生在固定时刻，而是根据状 态进行反馈，此时用自治脉冲方程来描述实际问题 考虑如下捕食与被捕食系统 应该更加合理． ｘ＝ｒｘ（１－ｘ）－ａｘｙ 众所周知，连续动力系统的分岔理论已经较为完 {ｙ＝ｂｘｙ－ｃｙ （１） ［５～７］ １＋ｘ 善 ，而对于脉冲动力系统的研究较多的集中在解 ［３］ 其中ｘ（ｔ），ｙ（ｔ）分别表示食饵与捕食者的数量，而 的性质，很少讨论分岔情况．文 将周期解问题转化 为不动点问题，讨论了从边界周期解到正周期－１解 常数ｒ，ａ，ｂ，ｃ＞０，其中ｒ是食饵的内禀增长率，ｃ是 ［４］ 的分岔情况；文 利用频闪映射得到了正周期－１的 捕食者的死亡率，ａ和ｂ分别描述食饵的消耗和捕 具体表达式，但只是在数值上讨论了正周期解的分岔 食者的受益． ［３，４］ 情况．在文 中都用到了离散映射．由于所考虑的脉 在生态问题中，系统（１）可以用来描述害虫 冲发生在固定的周期时刻，这些离散映射容易求得． （食饵）与天敌（捕食者）之间的相互作用关系，（１） 而对于状态依赖的脉冲系统，由于脉冲时刻无法事先 的动力学性质相对比较简单：当ｂ＞２ｃ时，系统存 确定，不能用类似的方法获得相应的映射，因此，到目  