第四节 行列式的性质 2013-2-27修改.docVIP

第四节 行列式的性质 教学目的：熟练掌握行列式的初等变换性质，并能灵活运用初等变换性质进行行列式的计算与证明. 教学过程： 1.【定义1.5】由个数排成行列构成符号 ，称为级行列式. 规定其运算为 . 其中：为行列式的一般项，它由位于行列式不同行、不同列的个元素的乘积并冠以符号构成，为列标排列的逆序数. 的值为取遍行列式各项的代数和.【表示取遍的所有级排列】 注意：(1)可简写为或； (2) 中的称为第行第列元素. (3) 中共有个元素，展开式中共有！项，其中冠正、负号的项各半. 称为的转置行列式. 【性质1.1】行列式与它的转置行列式相等,即.（行列式转置其值不变） 一、行(或列)间的性质 观察例子 ， . 利用行列式的定义不难证明如下结论 例1.（1）证明：互换行列式的两行(或两列),行列式值变号. 证明:设， 即变换两行得到,有 ,(), , , 于是 . （2）证明：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式. （） 证明: . （3）证明：用数去乘以行列式，等于的某一行(某一列)中所有的元素都乘以同一数. （） 即 . （4）证明：若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，则行列式等于两个行列式之和.（拆列（拆行））即 . 证明: . （5）证明：把行列式的某一列（或某一行）的各个元 素乘以同一个数后加到另一列（另一行）对应元素上去， 行列式的值不变.（倍列加（或倍行加） 证明: 右边. 【性质1.2】行列式的初等变换性质 （1）换行（换列）值反号. 记作. （2）倍行（倍列）倍值. 记作 . （3）倍行加（倍列加）值不变. 记作. 【性质1.3】若行列式的某一行（某一列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.【拆列（或拆行）】 【性质1.4】行列式某行（或某列）的公因式可以提到行列式外.【记为 （或）】 【推论】用一个数乘以行列式，等于用这个数乘以此行列式的某一行（或某一列）.【就是性质1.2的（2）】 例2.证明（1）如果行列式有两行(或两列)完全相同，则. 证明: 互换相同的两行，有 . （换行（列）） （2）行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式为零． 证明: ． 【性质1.5】具有下列特征之一的行列式值为零. （1）一行(或一列)元素全为零. （2）两行(或两列)元素对应相等. （3）两行(或两列)元素对应成比例. （行列式值为零的充分非必要条件） 【块行列式的性质】（拉普拉斯定理的特例） . 证明: 对上述行列式可以通过倍行加，将左上行列式化为下三角行列式，对上述行列式可以通过倍列加，将右下行列式化为下三角行列式，进而证明. 令 ； 对实施倍行加， 对实施倍列加， 可以分别将，化为两个下三角形行列式，从而得到 . 例 计算 二、应用举例 计算行列式常用方法：利用行列式的初等变换把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值． 例１计算行列式 解： . 例2 计算 解： . 提问：设，则 . 答案：-12. 例3 计算行列式 解 （循环行列式）将第列都加到第一列得 . 例4 计算行列式 解法一： 将第行依次与 行交换,再将第列依次与列交换,得 . 解法二： . 解法三： （将第一个行列式再按最后一行展开，第二个行列式按第一列展开） . （同上按照递推的方法可得） 例5 设是方程 的三个根，则行列式 的值为多少？ 解 是方程 的三个根，由韦达定理得 ，（查找一元n次方程的韦达定理） . 例6 计算行列式 解 .（提问：还有什么方法？） 例7 求证 证明： 左边＝ （两个行列式的提取公因式得） （上式作倍列加运算得） （上式提取公因式得） （再作倍列加运算得） （上式提取公因式得） （第二个行列式作两次换列运算：） . 三、课堂练习： 4.计算下列各行列式： （2）；（4）； （3）＝48 ,（4）＝40. 小结： 计算行列式常用方法：利用行列式初等变换性质 把行列式化为上（下）三角形行列式，由对角线上元素乘积算得行列式的值． 对行列式进行初等变换（换行、换列；倍行、倍 列；倍行加、倍列加）时最好使的左上角的元素为 ““，以降低运算难度. 然后按依次解决一行（列）的办法作等价变形，尽量回避分数运算. （3）行列式中零元素较多时，可用选元素法使行列式变为只有极少数的非零项，直接用定义计算行列式的值. 布置作业： 易犯错误：进行初等变换时常常数字运算错误.没有掌握基本计算技巧，没有仔细观察行列式的特点，有时也将简单问题复杂化. 附录：一元次方程的韦达定理 对于方程： ， 设该方程的个根为：，则 17