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第八章 参数估计 对未知参数进行估计有两种方式，一种是通过样本X1， X2 ,… ， Xn对被估计的参数?合理地给出一个估计量 （表示?的估计量（值））这是所谓点估计问题。另一种是通过样本寻求一个区间，使之有一定把握包含被估计的参数? ，这是所谓区间估计问题 §8.1 估计量的优劣标准 （一） 一致估计 定义8.1 （二）无偏估计 例1 从总体ξ中 取一样本（ X1, …,Xn ）， Eξ = μ ,Dξ = σ2 , 试证样本平均数 注：由于用S02 估计方差σ2时，有系统误差，所以，常用样本方差S2估计总体方差σ2 。 用n/n-1乘S02 ，所得到的估计量就是无偏的了，称S2为修正的样本方差，称S02 为未修正的样本方差。无偏性的要求正是引进修正样本方差的原因。 要注意，并非一切有偏估计都可修正为无偏的 如果从总体中随机取出两个相互独立的样本（ X11 , …,X1n1 ）及（X21 , …,X2n2），则可以证明 分别是总体中μ和σ2的无偏估计量。其中， 对总体的某一参数的无偏估计量往往不止一个，而且无偏性仅仅表明 所有可能取的值按概率平均等于θ，可能它取的值大部分与θ相差很大。为保证 的取值能集中与θ附近，自然要求 的方差越小越好。 (一）矩估计法（简称“矩法”） （二）最大似然估计法 设ξ为连续性随机变量，它的分布函数是F(x;θ),概率密度是 ，其中θ是未知参数，可以是一个值，也可以是一个向量。由于样本的独立性，则样本X1, X2 ，…,Xn 的联合概率密度是 对每一个取定的样本值， x1,…,xn是常数，L是参数θ 的函数，称L为样本的似然函数（如果 θ 是一个向量，则L 是多元函数） 定义8.4 如果 在 处达到最大值，即存在 则称 是θ的最大似然估计。 如何把θ的最大似然估计 求出来， 由高等数学知识知道，L(θ)的最大值常用求导方法求得，由于㏑ L与L同时达到最大值，故只需求㏑ L的最大值点即可，一般通过解方程 来得到参数θ的最大似然估计  P164 2  前一节介绍的参数的点估计是用样本观测值计算总体参数?的估计值，它是参数?的真值的近似值。为了了解估计值的精确度，希望对?的取值估计出一个范围，为了了解其可靠性，希望知道这个范围包含参数?的真值的可靠程度，这样的范围通常用区间的形式给出，这就是本节讨论的参数的区间估计 一、概念 未知参数的区间估计，应掌握两类题型 一类是推导正态总体中未知参数区间估计 另一类是给出样本值，求单个正态总体的期望和方差的置信区间 如何理解置信区间的置信度1?? ？ 在所给的一个样本值之下，假设得到了一个确定的常数区间[a,b]，如果独立地再取一个样本，又会得到另一个常数区间，如果独立地取100个样本，那么会得到100个这种常数区间，为方便计，设置信度1??=0.90=90%，其含义：从统计意义看，这100个常数区间中约有90%包含μ =EX ，只有约10%的区间不包含μ =EX，既然绝大多数区间都包含μ =EX ，那么就可认为区间[a,b]包含μ =EX ，当然也可能遇上正好这个区间不包含μ =EX的偶然情况，这时我们就作了错误的判断，不过出现这种情况的可能性很小，仅有约10% 例3 某电子管的使用寿命（从开始使用到初次失效为止）服从指数分布（概率密度见例2），今抽取一组样本，其具体数据如下；问如何估计 ？ 800 270 1100 210 190 620 520 450 410 340 280 140 130 100 68 50 29 16 解 根据例2的结果，参数θ用样本平均数估计 为θ的估计值。 (x1, x2 …,xn)为ξ的一组样本观察值，用最大似然估计法估计μ,σ2 的值。 解 例4 已知ξ服从正态分布N(μ,σ2 ), 解似然方程组 解似然方程组 得 §8.3 区间估计 定义： 设总体X的分布函数F(x；?)含有未知参数?，对于给定值?（0 ?1),若存在两个统计量 则称随机区间 为?的置信度为1??的置信区间 注：F(x;?)也可换成概率密度或分布律。 使 ?是事先给定的一个小正数，它是指参数估计不准的概率，一般常给? =5%或1% 求置信区间的一般步骤是： 1、明确问题 要求的是什么参数的置信区间，置信度有多大？ 2、构造含未知参数θ且有确定分布的随机变量 3、根据随机变量的分布，对给定的置信度1-?定出 4、利用不等式变形，求出θ的置信区间