第五章实对称矩阵对角化.pptVIP

6.4 实对称矩阵的对角化 6.4.1 实对称矩阵特征值与特征向量 6.4.2 实对称矩阵对角化的条件 定理1　实对称矩阵的特征值为实数. 6.4.1、实对称矩阵的特征值与特征向量 证明 于是 证明 它们的重数依次为 　　因为实对称矩阵的特征值均为实数可得： 设 的互不相等的特征值为 6.4.2、实对称矩阵对角化的方法 因为对应于不同特征值的特征向量正交， 这样的特征向量共可得 个. 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法 1. 解特征方程 求出对称阵 的全部不同的特征值。 2. 对每个特征值 ，求出对应的特征向量， 即求齐次线性方程组 的基础解系。 3. 将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。 这样共可得到 个两两正交的单位特征向量 4. 以 为列向量构成正交矩阵 有 即 必须注意：对角阵中 的顺序 要与特征向量 的排列顺序一致。 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 于是得正交阵 1.　实对称矩阵的性质： 三、小结 (1)特征值为实数； 　 (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2.　利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 　 (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化． 思考题 思考题解答 * *