许志农台湾师大数学系.PDFVIP

九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。 許志農／臺灣師大數學系 數學謎語，兒歌與遊戲，現在統稱為休閒數學，而休閒數學的一個里程碑係發生在公元前 2000 年的黃河岸邊。據說大禹治水的時候，看到一隻烏龜爬出洛水水面，這是一隻神龜，龜甲 上有黑白點的圖案，代表 1 到9 ，排成格狀，如下圖： 像這樣一個正方形，裡面的數字是由 1 開始的連續整數，每一行，每一列及兩條對角線的 和都相等，稱之為 「幻方」、「魔方陣」或 「縱橫圖」，而中國人稱這個正方形為 「洛書」（任意 一行、任意一列以及兩條對角線的數字之和都是15），歐洲人直到十四世紀才開始研究幻方， 比中國人遲了近兩千年。南宋數學家楊輝在1275 年所著的《續古摘奇算法》書中提到幻方的要 訣為「戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足」。 我們有八種方式排列 1 到9 的數字，使得所形成的3 ×3 方塊成為幻方，但是這八個幻方經 過旋轉或鏡射後，事實上都是同一個，如圖所示。因此，三階的幻方只有洛書這一個而已。 數亦優 3 幻方不必限定是3 ×3 的格子，下圖是1957 年於陜西西安市元代安西王府遺址出土的「幻方 鐵板」，出土地點在今天西安火車站東北三公里處，是元代安西王府的遺址，而安西王府是忽必 烈的三兒子忙哥刺的王宮。 幻方鐵板上每行均由六個數字排列，組成方陣，不論縱行或橫行，或對角線上的數字，相 加之和都是 111 。這個蘊含著數學原理的六六幻方，在古代被視為奇妙的神秘之物。人們把它 鄭重地裝進石函，埋入房基中，用作鎮宅和防災避邪的吉祥物。 雖然幻方的歷史已很悠久，但由於幻方中出現的一種變幻莫測的神奇數字之美 ，人們往往 花上幾小時把玩幻方而樂此不疲。在1910 年，美國有一位鐵路公司職員阿當斯是一名幻方的業 餘愛好者，他渴望能造出一個三階的六角幻方。歷經47 個寒暑，經過無數次的挫折與失敗，終 於找到了下圖的六角幻方，在今日，可以用電子計算機證明六角幻方也只有阿當斯構造的這個 而已。 洛書可以看成在九宮格裡填上1 到9 的數字，而且行、列、對角線的和都是15 的休閒數學。 在九宮格上玩得膾炙人口的遊戲大概就是圈叉遊戲了，這遊戲有兩位玩家，先玩者打「○」，而 後玩者打「╳」，輪流在九宮格打自己的符號，最先以橫、直或斜連成一線者獲勝。玩過此遊戲 的人都知道，這是一道先玩者控制，後玩者防守的遊戲，只要雙方沒犯錯，最後都會以平手收 場。先玩者經常誤以為「將第一個圓圈畫在正中央」是最佳的策略，事實上並非如此，而是應 該將第一個圓圈畫在角落才有最大的勝算。例如以下四種開局，先玩者都可以製造出雙頭蛇而 取勝： 4 數亦優 因此，在這種開局之下（含另外三種對稱性的開局），後玩者只能以下列方式（將「╳」落在正 中央）來對應 即使是這樣的對應，先玩者還是可以在下一手誘導對手犯錯，下圖就是最常見的犯錯模式： 將「╳」落在左上角是合乎直覺的想法，但這樣反讓先玩者取得雙頭蛇。 由上述分析知道「圈叉遊戲雖然容易平手，但是先玩者若從角落出發，反而容易誘導對手 犯錯，取得雙頭蛇，進而得勝；反之若由正中央出發，反而容易平手收場，原因在對手提高了 警覺性。」圈叉遊戲是第一個製作在電腦上的益智遊戲，在 1952 年，EDSAC 電腦就有圈叉遊 戲了。 將洛書的邊去掉就成為井字上填有 1 到9 數字的圖形，且行、列與對角線的和總是 15 。當 我們將這個圖形與一盤圈叉遊戲對照時，不難發現：連線的三個「○」所對應的數字和8 +1+6 等於 15 。因此，可以將圈叉遊戲想成從1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 的九個數字中輪流取數， 誰先取到有三個數字的和為 15 者勝（和為 15 代表連線的意思）。 數亦優 5 有了這種洛書與圈叉遊戲的對照，該是科學家的餘興節目登場的時候了，這裡要介紹一道 乍看難以捉摸，但從另一個方向切入變得容易得多