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现代控制理论 第三章 线性离散系统状态空间表达式 目的: (1).用状态空间方法对离散系统进行分析时,需建立离散系统的状态空间表达式. (2).连续系统采用计算机仿真和实时控制时,需对连续系统离散化. 三个问题: (1).离散系统状态空间表达式的形式. (2).离散系统状态空间表达式的建立. (3).方程的解法. 一.线性离散系统状态空间表达式 SISO离散系统:(1).差分方程,(2).脉冲传递函数。 只采用时域法描述,即差分方程的方法. 因而,离散系统的状态空间表达式,由离散状态方程和离散输出方程组成. 即对线性时不变离散系统为: 式中,T为采样周期 它们都是在t=kT时所确定的向量k=0,1,2… 采用简化符号x(k)来表示x(kT),即x(k)表示t=kT时的向量x(t) 同样,u(k),y(k)来代替u(kT),y(kT)这样上式可表达为: 主要研究这种类型方程所描述的系统. 二.离散系统状态空间表达式的建立. A.根据系统的差分方程建立状态空间表达式 1.作用函数为 时的定常纯量差分方程的状态空间表达式. 设纯量差分方程为 式中,k表示第k个采样瞬时, 为第k个采样瞬时输出, 为第k个采样瞬时输入. 设: 于是方程可以写成矩阵形式. 或 其中D=0 2.作用函数包括有 u(k),u(k+1),u(k+2),…,u(k+n)时的定常纯量差分方程的状态空间表达式. 设纯量差分方程的表达式为: 将两边作零初始条件下的Z变换得: 则上式改写成 令 并进行反变换得: 取状态变量 故而得到: B.连续时间状态方程的离散化 有两种情况,需要采用这种方法 (1).含有采样开关或数字计算机的系统进行建模. 可先按连续系统建模然后离散化. (2).连续系统采用计算机进行控制或仿真时. 由于需编写程序,因此必须将连续系统离散化. 离散化的过程(从动态方程的解开始) 不加证明地给出结论. 对于 的线性定常系统 则离散化后的方程为,采样周期为T 三.离散------时间状态方程的解 1.递推法. 设状态方程 令k=0,1,2,….可递推求得 若T为常数,则 令 称为离散时间状态方程的状态转移矩阵,它是差分方程 的解. 且满足 ,则用状态转移矩阵写出的解为: 2. Z变换法 设离散时间的状态方程为: 求Z变换后得到 于是 求Z反变换得: 对照递推结果,则有: * *