第一章---矢量分析.ppt

* * 公式归纳 》直角坐标系： 》圆柱坐标系： 》球坐标系： P点用u1，u2，u3坐标表示，沿坐标增量方向的单位 矢量为 ，拉梅系数为h1，h2，h3 * * 曲线正交坐标系中，统一公式： 》散度： 》梯度： 》旋度： 》拉普拉斯： * * 补充数学知识 空矢或零矢：一个大小为零的矢量 单位矢量：一个大小为1的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿 x，y，z轴分量的方向。 矢量的表示方法 矢量一般表示： ，A为矢量 的大小， 为方向 * * 任一矢量可以表示为： 位置矢量：从原点指向空间任一点P的矢量 位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。 直角坐标系中点P(X,Y,Z)的位置矢量表达式为： * * 结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直 数学知识补充——矢量的代数运算 求和差 》作图法： 平行四边形法则 》分量法： 求点积 （标量积、内积） 公式： 特点： 直角坐标系中： * * 求叉积 （矢量积、外积） 结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行 公式： 其中： 符合右手螺旋法则 特点： 直角坐标系中： 右手螺 旋法则 返回 * * 作业 * * 二、旋度的定义（矢量） 旋度大小：最大环量面密度的数值 旋度方向：环量面密度最大时的面元的方向 引入哈密尔顿算子 在直角坐标系中 矢量场的旋度 * * 结论： 》旋度描述矢量 在该点的旋涡源强度。 》矢量场在P点处沿任一方向 的环量面密度为旋度 在 方向上的投影。 》若 ，则为无旋场，反之为有旋场 矢量场的旋度 * * 矢量场的旋度 * * 旋度的运算规则 直角坐标系中 ▽2为拉普拉斯算子 * * 因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和， 即 此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。 斯托克斯定理 * * 由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有: 斯托克斯定理的证明： ＝ 得证！ 斯托克斯定理 * * 例1-11 求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线 (x-2)2+y2=R2, z=0的环量(见图 1-6)。 图 1-6 例 1-11 图 例题 * * 解： 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。 例题 * * 例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。 解： 矢量场A的旋度 例题 * * 在点M(1，0，1)处的旋度 n方向的单位矢量 在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 例题 * * 例 1-13 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度▽×E。 例题 * * 解： * * 圆柱坐标系 图 1-7 圆柱坐标系 1.5 圆柱坐标系与球坐标系 * * 圆柱坐标系 * * 直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系 》直角坐标系?圆柱坐标系 》圆柱坐标系?直角坐标系 圆柱坐标系 * * 对任意增量dρ、dφ、dz，P点位 置沿ρ、φ 、z方向的长度增量为： 拉梅系数（各方向的长度增量 与各自坐标增量之比）为： 面积元与体积元为： * * 图 1-8 球面坐标系 球面坐标系 * * 球面坐标系 * * 球面坐标系 * * 直角坐标系与球坐标系的转换关系 直角坐标系?球坐标系 球坐标系?直角坐标系 球面坐标系 * * P点沿r、θ、φ 方向的长度增量为： 拉梅系数为： 面积元与体积元为： * * 例1-14 在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中，当距离rl时，其空间电位的表达式为 求其电场强度E(r, θ, φ)。 解： 在球面坐标系中，哈密顿微分算子▽的表达式为 例题 * * 因为 例题 * * 亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即 假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令 1.