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陈省身谈数学的美 数学是什么？数学是根据某些假设，用逻辑的推理得到结论，因为用这么简单的方法，所以数学是一门坚固的科学，它得到的结论是很有效的。这样的结论自然对学问的各方面都很有应用，不过有一点很奇怪的，就是这种应用的范围非常大。最初你用几个数或画几个图就得到的一些结论，而由此引起的发展却常常令人难以想象。在这个发展过程中，我认为不仅在数学上最重要，而且在人类文化史上也非常突出的就是Euclid在《几何原本》。这是第一本系统性的书，主要的目的是研究空间的性质。这些性质都可以从很简单的公理用逻辑的推理得到。这是一本关于整个数学的书，不仅仅限于几何学。例如，Euclid书上首先证明素数的个数是无穷的，这便是一个算术的结论。随着推理的复杂化，便有许多深刻的定理，需要很长的证明。例如，有些解析数论定理的证明，便需几十条引理。最初，用简单的方法证明几个结果，大家很欣赏，也很重要。后来方法发展了，便产生很复杂的推理，有些定理需要几十页才能证明。现在有的结果的证明甚至上百页，上千页。看到这么复杂的证明，我们固然惊叹某些数学家高超的技巧和深厚的功力，但心中难免产生一些疑问，甚或有些无所适从的感觉。所以我想，日后数学的重要进展，在于引进观念，使问题简化。先讲讲有限单群的问题。 1.有限单群我们知道，数学的发展中有一个基本观念——群。群也是数学之中各方面的最基本的观念。怎样研究群的结构呢？最简单的方法是讨论它的子群，再由小的群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有限群，而有限群是一个难极了的题目，需要有特别的方法，特别的观念去研究。 命G为群，g∈G为一子群，如对任何g∈G-1 g H g∈H则称H为正规的（nomal）。正规子群存在，可使G的研究变为子群H及商群G/H的研究。这样就有一个很自然的问题，有哪些有限的单群（simple group）。单群除了它自己和单位元（identity）之外，没有其他的非平凡的正规子群（normalsubgroup）。数学上称其为简单群，其实一点也不简单。有限群论的一个深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交换单群的阶（数）（即群中元素的个数）是偶数。更不寻常的是除了某些大类（素数阶循环群Zp，交错群An（n=5），Lie型单群）外，后来发现了26个零零碎碎的有限单群（散在单群，离散单群），现在知道，最大的散在单群的阶是41 20 9 6 2 3 54 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71=808，017……=10这是很大的单群，由B.Fisher和R.L.Griess两位数学家所发现，数学家称它为魔群（怪物，Monster）。单群的权威数学家D.Gorenstein相信有限单群都在这里了，这当然是数学上一个很好的结果。把单群都确定了，就像化学家把元素都确定了，物理学家把核子的结构都确定了一样。可这里有个缺点，Gorenstein并未将证明定出来。他讲若将证明写出来至少有1000页，而1000页的证明无论如何很容易有错误。可是Gorenstein又说，不要紧，若有错误，这个错误一定可以补救。你相信不相信？数学界有些人怀疑这样的证明是否必要。现在计算机的出现，许多问题可以验证到很大的数，是否还需要严格的证明，已变成数学上一个有争论的问题。这个争论看来一时无法解决。段学复先生是我的老朋友，是有限群论的专家，也许我们可以问一下他的意见。我个人觉得这个问题很难回答。不过数学家有个自由，当你不能做或不喜欢做一个问题时，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜欢做的问题。 2四色问题把地图着色，使得邻国有不同的颜色，需要几种颜色？经验告诉我们，四色够了。但是严格的证明极难。这就是有各的四色问题。地图不一定在球面上，也可在亏格高的的曲面上（一个亏格高为g的曲面在拓扑上讲是球面加g个把手；亏格为1的曲面可设想为环面）。可惊奇的是，这个着色问题，对于g=1的曲面完全解决了。可以证明：有整数χ（g），满足条件：在亏格为g的曲面上任何地图都可用χ（g）种颜色着色，使邻国有不同颜色，且有地图至少需要χ（g）种颜色。这个数在g=1时可以完全确定。我们知道χ（1）=7，即环面上的地图可用七色着色，四色不够。令人费解的是，证明地球上四色定理，困难多了。现有的证明，需要计算机的帮助，与传统的证明不同。而我们觉得最简单的情况，即我们住的地球球面上的着色问题反而特别复杂。把扩充的问题解决了，得到了很有意思的结论。但是回到基本问题，反而更难。这种现象不止这一个，还有很多，一个例子是所谓的低维拓扑，即推广的问题更简单，而本身核心的问题反而不易克服，这确是数学神秘性的一面。3椭圆曲线最近的数学进展，最受人注意的结果就是Fermat大定理的证明。Fermat大定理说：方程式n n n