五极限的存在性定理.pptVIP

* * * * * * * 第五节 极限的存在性定理 单调有界数列必有极限. 例1 求数列 的极限. 解 (1)存在性 令 单调性 时 设 时 定理2.14 时 故对一切正整数 有 所以数列递增. 有界性 时 时 设 时 故对一切正整数 有 ,所以 数列有界. 综上所述, 数列极限存在. (2)求值 设 将 两边求极限 得 即 故 例2 设 ,求 解 (1)求值 设 则 即 故 因 (2)存在性 对 要使 只需 故极限存在. 取 求数列极限: 1.先按单调有界证极限存在性再按递推公式求 极限值,本方法一般适用于数列详细给出的 2.先按递推公式求极限值再按精确性定义验证 给出的情况. 情况. 极限存在性,本方法一般适用于数列递推公式 如果数列 满足下列条件 (1)从某项开始有 (2) 则 数列 极限存在, 并且 由已知, 对 同时成立 定理2.15 证 所以 成立 因此 注 (1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理. (2)不等式两边极限必须存在且相等. (3)此定理对一般函数极限仍然成立. 此时 补充 (00年考研真题3分) 设对任意的 总有 且 则 存在且等于零 存在但不一定等于零 一定不存在 不一定存在. 答案