复变函数论论文.docVIP

论 文 目 录 摘要……………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………1 引言……………………………………………………………………………1 理论……………………………………………………………………………1 参考文献………………………………………………………………………6 8．英文摘要………………………………………………………………………6 全文共 15 页 2,148 字 复变函数论 （学号：20101101926 刘艳玲） （物理与电子信息学院 物理学专业2010级，内蒙古 呼和浩特 010022） 指导老师： 孙永平 摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。 关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换； 1引言 了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。 2复变函数 2.1.1复数与复数运算 2.1.1.1复数的基本概念 Z=x+iy (1.1.1) 这叫作复数的代数式，x和y则分别叫作该复数的实部和虚部，并分别记作Res和Imz。 复数z可表示为三角式和指数式，即 叫作该复数的模,叫作该复数的幅角。 2.1.2 复数的运算 复数由此明显可见加法的结合律和交换律成立。 商的定义 n次幂应用 n次根号的应用 2.1.2复变函数 2.1.2.1复变函数定义 一般地，当z=x+iy在复平面上变化时，如果对于z的每一个值，都有一个或几个复数值ω相对应，则称ω为z的复变函数。写作： ω =f（z）=u（x，y）+iv（x，y） 为了更好的理解这个定义，我们需要了解以下概念：区域、邻域、内点、外点、境界线、闭区域、开区域等。 2.1.2.2区域的定义 区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中的任何两点都可以用一条曲线连接起来且线上的点全属于该点集。 闭区域：包括境界线的区域叫闭区域。 开区域：不包括境界线的区域叫闭区域。 邻域：以Zo为圆心，以任意小正数ε为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为Zo的邻域。 内点： Zo及其邻域均属于点集E，则该点叫作E的内点。 外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则该点叫作E的外点。 境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则该点为境界点，境界点的全体称为境界线。 2.1.2.3复变函数例 2.1.3导数 设是在z点及其邻域定义的单值函数.若在z点存在，并且与的方式无关则称在z点可导. 可导的充要条件： u(x,y) 和v(x,y) 的偏导数存在、连续， 且满足C-R条件 。 （点解析一定可导，可导不一定解析；区域等同） 3复变函数的积分 3.1.1复变函数的积分 f(z)都用实部和虚部表出， 所以复变函数的路积分有如下性质: 1.常数因子可以移到积分号之外. 2.函数的和的积分等于各个函数的积分的和. 3.反转积分路径,积分变号. 4.全路径上的积分等于各段上积分之和. 5.积分路径不仅依赖于起点和终点还与积分路径有关. 3.2.1柯西定理 单通区域柯西定理（无孔无洞） 复通区域柯西定理 总结起来，柯西定理说的是 闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零， 闭复通区域上的解析函数沿着所有外境界线正方向积分为零， 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。 3.3.1不定积分 若 函数F(z)在单通区域B上解析，则沿B上任意一路L的积分的值只跟起点和终点有关而与路径无关。记作 3.4.1柯西公式 例一、计算积分 I, 其中 C 为不经过点 0 和 1 的正向曲线。 解： (1) 如果 0 和 1 都不在C 中，则被积函数解析，因此, 由 Cauchy 定理得 I=0; (2) 若仅 0 在 C 内, 函数 在 C 上及 C 包围的区域解析， 由 Cauchy 积分公式，得到 （3）若仅 1 在 C 内, 函数在 C 上及 C 包围的区域解析， 由 Cauchy 积分公式，得到 (4) 若 0 和 1 都在 C 内，由Cauchy 定理 而在 上及 包围的圆内 解析，同样，在