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集合 【知识点梳理】 一、集合的含义与表示 1.元素、集合的含义及表示 （1）一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合常用大写字母标记； （2）集合中的对象叫作这个集合的元素，常用小写字母表示集合中的元素。 2.元素与集合的关系及其表示 （1）给定一个集合，若是集合的元素，也称在集合中，就说属于集合，记作； （2）若不是集合的元素，也称不在集合中，就说不属于集合，记作 3.集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性 4.集合的分类：无限集、有限集、空集（不含任何元素的集合） 5.常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作； 正整数集，记作或； 整数集，记作； 有理数集，记作； 实数集，记作； 复数集，记作 6.集合的表示方法：列举法、描述法或图示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； （2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内 （3）图示法：韦恩图 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 二、集合的基本关系及基本运算 1．集合的包含关系 （1）集合的任何一个元素都是集合的元素，则称是的子集（或包含），记作（或）； （2）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若且，则称等于，记作；若且，则称是的真子集，记作； （3）简单性质： （1）； （2）； （3）若，，则； （4）若集合是个元素的集合，则集合有个子集，个真子集，个非空子集，个非空真子集。 2．全集与补集 （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作； （2）若是一个集合，，则，称中子集的补集； （3）简单性质：（1）； （2）， 3．交集与并集 （1）一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与的交集。记作： （2）一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集。记作： 注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 4．集合的简单性质： （1），，； （2），； （3）； （4），； （5）， 三、几种简单不等式的求解 1.一元一次不等式的解法 解一元一次不等式与解一元一次方程有类似的步骤，都是经过变形，把左边变成x，右边变为一个常数，但一定要注意当不等式的两边同乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向． 2.一元二次不等式的解法 （1）整理系数，使最高次项的系数为正数； （2）尝试用“十字相乘法”分解因式； （3）计算 （4）结合二次函数的图象特征写出解集大于取两边，小于取中间 ①时，求根， ②=0时，求根＝＝， ③0时，方程无解， 3.解分式不等式的基本思路：对于解型不等式，应先移项、通分，再利用（或）转化成整式不等式求解. 4.解绝对值不等式的基本思路：去掉绝对值符号转化为一般不等式转化方法有1）零点分段法2）绝对值定义法3)平方法 2.一元二次不等式 例：（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）方程的解为（十字相乘法）． 根据的图象，可得原不等式的解集是． （2）不等式两边同乘以，原不等式可化为． 方程的解为（平方差公式）． 根据的图象，可得原不等式的解集是． （3）方程的解为（提取公因式）． 根据的图象，可得原不等式的解集为. （4）因为，所以方程无实数解. 根据的图象，可得原不等式的解集为． 3.分式不等式与绝对值不等式 例1：解下列不等式： （1）； （2） 解：（1）原不等式， （2）原不等式 ). 例2:解下列不等式： （1）； （2） 解由绝对值定义得由绝对值定义得：，或 另解：原不等式化为，由绝对值的几何意义知所求到数轴上点的距离不小于，易得或. 【典型例题】 题型一、集合的基本概念表示与性质 例1：下列集合中表示同一集合的是（ ） A.， B.， C.， D., 解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、互异性）即得。易知选C。 变式：判断下列集合是否为同一个集合： ① ② ③ ④ 答案：④ 例2：（集合相等）设，集合，求的值. 分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质，得到集合中对应元素的关系. 解：由题知，， ，则，所以 ，解得. 变式：集合与是同一集合，则 ， _ _ 答案： 点评：本题型以基础题为主，以集合中元素的性质为载体，考察学生对条件的把握分析能力，以寻找解题的突破口. 题型二、集合间的基本关系和运算 例1：第届夏季奥林匹克运动会于