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篮球罚球投篮中的模型 作者：赵语 土建与水利学院 工程力学 09级 200900204036 摘要：在篮球比赛中，罚球是对胜负有关键影响的投篮方式，在此建立一个模型来讨论罚球过程中命中的因素。 影响篮球在空中运动的因素很多，为使物体避免复杂，我们可以忽略篮球本身自旋，即篮球碰撞篮板的等情况。同时，我们也假设篮球的运行轨迹始终在篮球出手点和球框中心的垂直平面内。 图中所示Ｐ点表示罚球点，Ｑ表示篮筐中心。按照标准尺寸，则Ｐ和Ｑ的水平距离＝4.60m，Ｑ点高＝3.05m，篮球直径可以忽略,质量600g。同时根据实际情况，我们假定篮球的出手高度在1.8m︿2.1m之间，出手实际速度＝7.0︿9.0m/s之间。 建立如下模型，不考虑篮球的大小，把篮球看作集中在篮球质心的一个质点根据不同的高度和出手速度，篮球质量确定此时篮球的出手角度和速度大小及它们的关系以及考虑阻力时候的关系. 正文：首先建立坐标系，设=0时刻出手速度，角度透出篮球，可视为质点的斜抛运动。篮球出手后在空中飞行的时候，沿水平方向设速度,竖直速度分别为 ，则二者公式分别为 Ⅰ 由此可求出时刻篮球球心的位置为： Ⅱ 从上述方程中消去，即可得篮球球心的运动轨迹方程： Ⅲ 球框中心的的坐标为Q。有前面的分析，篮球球心命中篮筐即点Q过抛物线将 代入，得球心命中中心框的条件为: Ⅳ 又因为此式成立的条件为： 所以可以得到 ： 使上式不等式成立的应该是最小的出手速度，记为，即 关于的函数图像为： 考虑空气阻力的时候，可只考虑水平阻力，此时水平阻力： 按照牛顿运动定律，篮球水平方向运动满足微分方程为： 当=0时，由已知初始条件，对方程求解可得： 再对第一个方程求解，利用初始条件 得 Ⅴ 将Ⅴ式代入前面所列方程中求出出手速度和出手角度关系 结果分析: 不考虑空气阻力的情况,此时。取高度（m）,计算结果如下 (m) (m/s) 1.8 7.67 52.6 1.9 7.59 52.0 2.0 7.51 51.4 2.1 7.43 50.8 由此可以得出结论，出手角度,出手速度随出手高度增加而减小，并且这种情况下出手速度不应小于8m/s. 考虑空气阻力的情况 将Q点代入得 同时假设，由没阻力速度时可猜想有阻力速度大于8m/s之后代入不同数据，计算结果如下 V(m/s) (m) 8.0 1.8 60.7 1.9 61.6 2.0 62.3 8.5 1.8 66.5 1.9 66.9 2.0 67.2 9.0 1.8 70.1 1.9 70.3 2.0 70.5 通过数据可以得出，相比于无阻力的影响出手角度要增大一些。 1