方法最全的数列求和.ppt

一.公式法： ①等差数列的前n项和公式： ②等比数列的前n项和公式 ③ ④ ⑤ 常见的拆项公式有： 常见的裂项公式有： 2求数列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10，…，前n项和Sn. 2∵ak＝(2k－1)＋2k＋(2k＋1)＋…＋[(2k－1)＋(k－1)] ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an 点评：运用分组求和法数列前n项和公式时，要注意先考虑通项公式． 解析 例6： 1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？ 局部重组转化为常见数列 并项求和 练习： 已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1), 1)求S20,S21 2)求Sn S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39 S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41） =20 =-21 例7：已知数列 5，55，555，5555，…求满足前4项条件的数列的通项公式及前n项和公式。 练习：求和 Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+ ……+(1+2+22+……+2n-1) 通项分析求和 通项 =2n-1 先求通项 再处理通项 (2) 数列{an}中，an＝－2[n－(－1)n]，求Sn. ＝－4m2＋2m－2＝－(n＋1)2＋(n＋1)－2＝－n2－n－2. 解析（2）an＝－2n＋2(－1)n，若n＝2m， 则Sn＝S2m＝－2(1＋2＋3＋…＋2m)＋2 (－1)k ＝－2(1＋2＋3＋…＋2m)＝－(2m＋1)2m＝－n(n＋1)． 若n＝2m－1，则Sn＝S2m－1＝S2m－a2m ＝－(2m＋1)2m＋2[2m－(－1)2m] ＝－(2m＋1)2m＋2(2m－1) 练习： 变式探究 1．已知等差数列 的首项为1，前10项的和为145，求a2＋a4＋…＋　　. 解析：首先由S10＝10a1＋ ＝145?d＝3， 则an＝a1＋(n－1)d＝3n－2?a2n＝3·2n－2， ∴a2＋a4＋…＋a2n＝3(2＋22＋…＋2n)－2n ＝3 －2n＝3·2n＋1－2n－6. 2．求数列1,3＋ ，32＋ ，…，3n＋ 的各项的和． 3.在等差数列 中，a1＝3，d＝2，Sn是其前n项的和，求： S＝ . 在等差数列 中，a1＝3，d＝2，Sn是其前n项的和，求：S＝ . 解析： 4.(2010年广州一模)已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有an＞0，且 ＝　(a1＋a2＋…＋an)2. (1)求a1，a2的值； (2)求数列{an}的通项公式an； (3)设数列 的前n项和为Sn，不等式Sn＞ loga(1－a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围． * 数列的求和 和风中学：蒋世华 　　掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活的运用这些方法解决相应问题. 考纲要求 知识梳理 ⑥ 2+4+6+…+2n= ； ⑦ 1+3+5+…+（2n-1）= ； n2+n n2 二、错位相减法求和 例如 是等差数列， 是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和． 三、分组求和 把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和． 四、并项求和 例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和． 五、裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项． 六。倒序相加法： 如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法. 七。归纳猜想法 ： 先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等正面证明。 八。奇偶法 通过分组，对n分奇偶讨论求和 九。通项分析求