§12确界.pptVIP

华北科技学院理学院 确界与最值的关系: 设 S为数集. ⑴ S 的最值必属于S, 但确界未必, 确界是一种临界点. ⑵ 非空有界数集必有确界(见确界原理), 但未必有最值. ⑶ 若 maxS 存在, 必有maxS=supS. 对下确界有类似的结论. 确界的运算性质： 证3： 《数学分析》(1) §1.2 数集 确界原理 * 《数学分析》(1) §1.2 数集 确界原理 * 一、区间与邻域 二、有界集 三、确界 四、非正常确界 1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 一、区间与邻域 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 2.邻域: 右邻域： 左邻域： 二、有界集 定义1 注：若S有上（下）界，则必有无限多个上（下）界. 有限区间都是有界集，无限区间都是无界集。由有限个数组成的数集是有界集。 有下界（可取1），无上界. 下界可取1/2，上界可取1. 上界可取1. } , ! | { 1 + ? = = N n n x x S 如： 例1 证明集合 是无界数集. 证： 由无界集定义，E 为无界集. 例2 证： 三、确界 若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界. 而其中最小的一个具有重要的作用. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为S的下确界. 称为S的上确界. 最小的上界 M M2 M1 上确界 上界 m2 m m1 下确界 下界 定义2 注: 是上界 ——小一点不再是上界 最小上界 最小上界的定义 注: 定义2 集合的最大下界 最大下界 Supremum (上确界)，Infimum (下确界) 例1 例2 证： 注 infS supS (仅当S是单点集时，等号成立）。 例3. 证： 仅证下确界的情况. 必要性： 充分性： 定理1.1 (确界原理) 证明分以下四步: 证法一 设 S 是有上界的非空集合.为叙述方便起 见,不妨设 S 含有非负数. 1.S 是有上界的集合,从而 S+ 也是有上界的集合, 是正规小数表示. 证法二 不妨设 事实上, 四、非正常确界 2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界. 则A 有上确界，B 有下确界， * * 《数学分析》(1) §1.2 数集 确界原理 *