§21数列极限.pptVIP

华北科技学院理学院 刘徽—极限思想的创始人 刘徽（约225-295）数学家，魏晋时代人。他于魏晋4年（公元263年）为《九章算术》做了注释《九章算术注》。刘徽善于用文字讲清道理，用图形说明问题，便于读者学习、理解、掌握。例如，他创造了用割圆术来计算圆周率的方法，从而开创了我国数学发展中圆周率研究的新纪元。他从圆内接正六边形算起，依次将边数加倍，以致算到内接正192边形的面积，从而得到圆周率π的近似值3.14，后人为了纪念刘徽，称这个数值为“徽率”。刘徽认为“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这里他已经把极限的思想应用于近似计算。 刘徽是中国古典数学理论的奠基人之一，他的著作堪称中国传统数学理论的精华。 用定义证明数列极限的证明思路 《数学分析》(1) §2.1 数列极限概念 * CH2 数列极限 极限(Limit ) 是数学分析中最基本的概念之一, 用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态. 早在中国古代, 极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载. 随着微积分的诞生, 极限作为数学中的一个概念也就明确提出. 但最初提出的这一概念是含糊不清的,因此在数学界引起不少争论甚至怀疑. 直到19世纪, 由柯西和维尔斯特拉斯等人的工作, 才将其置于严密的理论基础之上, 从而得到举世一致的公认. 凡本质上与极限概念有关的数学分支统称分析数学,以区别于完全不用这一概念的代数学.几何学的各分支绝大部分也直接或间接地与极限概念密切相关。 CH2 数列极限 教学内容： 1、数列极限的概念 2、收敛数列的性质 3、数列极限存在的条件 教学重点与难点： 用定义证明数列极限，极限的性质，柯西收敛准则. 一、数列的定义 二、数列的极限 三、无穷小与无穷大数列 为数列. 则称 若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 或简记为 {an}. 所以我们也将数列写成 an称为数列 {an} 的通项. 一、数列的定义 因为N+的所有元素可以从小到大排列出来, 注： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 例如 魏晋时刘徽提出的 “割圆术”.他把圆周六等分、十二等分、二十四等分、··· ，并作内接正多边形，这样一直分割下去, 所得内接正多边形的面积就无限接近于圆的面积. 割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣. 二、数列的极限 引例①割圆术 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 数列极限概念 二、数列的极限 引例①割圆术 无限接近圆面积 . 随着 n 的无限增大，多边形的面积 An 将 依次下去，得到数列： 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话： 一尺之棰 日取其半 万世不竭. …… 引例②截丈问题 两个引例共同点是出现了无限接近思想，这正是极限概念的原始面貌. 极限概念是由于求某些问题的精确答案而产生的, 割圆术和杖棰问题使用的都是极限的方法. 第一个是把一个固定不变的量看作是一系列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面积的大小. 第二个是杖棰剩余问题，看作一系列变化着的剩余趋向于一个确定量的问题. 无论是内接正多边形的面积 ，还是杖棰的剩余长度，都可以看作是关于 n 的一个数列{ an }，而这个数列中的项随着 n 增加产生一个什么样的变化过程则是人们最关心的，极限就是讨论这一类问题的数学模型. n 趋向于无穷大 数列极限的描述性定义 如果当项数 n无限增大时，无穷数列{an}的项an 无限趋于某个常数 a ,（即 无限趋于0）, 则称数列 {an} 以a 为极限，或a是数列{an}的极限. (1) {an} 是无穷数列； (2) n无限增大时，an不是一般地趋近于a ，而是“无限”趋近于a； (3)数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的 读作 “当n 趋向于无穷大时，an 的 极限等于a ” 或 “当n 趋向于无穷大时an趋于a ” 注： 0 -1 （1） （2） （3） 当n无限增大时，下列数列的项an的变化趋势及共同特征: . . . . . . . . . . . . . . 共同特性：不论这些变化趋势如何，随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于常数a. 3 递减 无限趋近 1 递增 无限趋近 0 无限趋近 摆动 分析 下面给出数列极限严格的数学定义. 定义1 为一个数列, a 为一个常数, 则称数列 收敛于a , 或称 a 为数列 的极限, 记作 若