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华北科技学院理学院 《数学分析》(1) §1.3 函数概念 * 《数学分析》(1) §1.3 函数概念 * 一、函数的定义 二、函数的四则运算 三、复合函数 四、反函数 五、初等函数 一、函数的定义 称为 f 的值域； D 称为 f 的定义域； 若有对应法则 f , 在 D上的函数, 则称 f 是定义 记作 定义1 D与M是R中非空实数集, 称为 f 的图象. 注1 函数由定义域 D 和对应法则 f 二要素完全 决定，因此若给出函数的定义域和对应法则, 也 就确定了函数. 它与自变量与应变量的符号无关. 注2 表示函数有多种方法，常见的有解析法、列 表法和图象法.解析法表示函数时,若没有特别指 明其定义域,则一般约定其定义域为使该解析式 有意义的自变量的全体(即存在域). 例 除了可用一个数学式子表示函数外,有些函数随着自变量取不同的值, 分段函数. 这种函数称为 函数关系也不同, （1）常函数 y =f(x)= C , 其中C是一个常数. y x C O y = C 几个特殊的函数举例 其定义域为 R = (－?，+? ) ，值域为{ C }. 绝对值函数 (2) 定义域 值域 符号函数 定义域 值域 (3) 1 -1 x y o (4) 狄利克雷(Dirichlet)函数 (x为有理函数) (x为无理函数) 定义域 值域 有理数点 无理数点 狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才 能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的 杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国 数学界的核心人物之一。 Dirichlet 1805—1859 狄利克雷函数不能作出几何图形. (5)黎曼函数 黎曼是德国数学家，高斯晚年的一名高材生。黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。对于他的贡献，人们是这样评价的：“黎曼把数学向前推进了几代人的时间”。 Riemann 1826—1866 （6） 取最值函数 y x o y x o 一般地，有 取整函数 如 （7） 阶梯曲线 表示不超过x的最大整数 y 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x o 取整函数的性质： （求极限时有用） 设函数 的定义域分别为 则可定义两个函数的下列运算: 和(差) 积 商 且 二、函数的四则运算 三、复合函数 定义 注意: 不一定都能进行复合运算. 复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数), 由函数的最外层运算一层层剥到最 里边, 切不可漏层. 如 都是中间变量. 剥皮法 3. 一个复杂的函数可以分解为若干简单函数的复合. 练习 下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ 四、 反函数 不一定！ 定义 结论：只有一一对应函数才存在反函数. 关系 注意： 求反函数的方法： 基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、指数 函数、对数函数、三角函数、反三角函数. 1.常函数 2.幂函数 3. 指数函数 4.对数函数 五、初等函数 5. 三角函数 6. 反三角函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次 复合运算所构成的并且可以用一个式子表示的函数 , 统称为初等函数 . 狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数. 注 一般分段函数不叫初等函数, 可看作分段函数, 是否又可看作是初等函数? 答: 故又可看作是初等函数. 是! 由于 不是用一个式子表达出来的. 因为它 1) 幂函数 定义域与 的取值有关. 基本初等函数的图像 2) 指数函数 定义域为 值域为 * * 《数学分析》(1) §1.3 函数概念 *