§22收敛数列性质.pptVIP

华北科技学院理学院 练习4. 下面极限是否存在？若存在，求之。 解 《数学分析》(1) §2.2 收敛数列的性质 * 一、收敛数列的基本性质 二、极限的四则运算 三、子列极限 定理2.2 (唯一性)若数列收敛, 则其极限唯一. 证明 由定义, 一、 收敛数列的基本性质 故极限唯一. （教材P4习题3） 证 由定义, 有界性是数列收敛的必要条件, 推论 注 无界数列必定发散. 不是充分条件. 定理2.3 (有界性) 即存在 则对一切 正整数 n , 都有 例:数列 是有界的, 但却不收敛. 定理 2.4（保号性） 证 注 我们可取 这也是为什么称该定理为保号性定理的原因. 当 n N 时, 推论 证 由保号性 定理 2.5（保不等式性，保序性） 证 所以 是严格不等式. 注 若将定理 2.5 中的条件 改为 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 例如 , 虽然 证明 定理 2.6（迫敛性，两边夹定理） 则 例1 求数列 的极限. 所以由迫敛性，求得 又因 解 例2 解： 由迫敛性得 例3 为 m 个正数, 证明 证 以及极限的迫敛性, 可得 求极限: 练习1 解： 由迫敛性得 求极限: 练习2 定理2.7 二、 极限的四则运算 所以 证明 (1) (2) (3) 例4 此题可直接作为结论使用. 例5 解 则 故得 练习3 定义 注 三、子列极限 定理 2.8 证 一定发散. 若数列 的一个子列发散 或有两个子列收敛于不同的极限, 例6 证 则 例6 证 此题可直接作为结论使用. 例8 解 因此, * * 《数学分析》(1) §2.2 收敛数列的性质 *