5~34基本不等式.pptVIP

ICM2002会标 如图，这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 ICM2002会标 将其抽象为几何问题：观察其面积，能够发现什么结论？ A D C B H G F E 思考：上式在什么情况下可以取等号？此时赵爽弦图变成了什么图形？ 一 、探究 易得: 即 (当 时,等号成立) A C D B a b 直角三角形 等腰直角三角形 正方形 点 o 结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立 此不等式称为重要不等式 （当且仅当a=b时，等号成立） 二、新课讲解 算术平均数 几何平均数 思考:如果当 用 去替换 中的 ,能得到什么结论? 基本不等式 1、文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意： 2、成立条件： ⑴ a、 b是两个正数. ⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立 。 如何证明? 证明:要证 只要证 ( ) ① ② 要证②，只要证 ( ) ③ 要证③，只要证（ － ) ④ 显然: 是成立的,当且仅当 时 ④ ④ 中的等号成立. 证明:当 时, . 分析法 如图AB是直径，点C是AB上的一点，设AC=a，BC=b，过点C作垂直与AB的弦DE,并连接AD,BD,你能利用此图得到基本不等式的几何解释吗？ 探究基本不等式的几何解释 则半弦CD=____, 半径AO=_____ a A B D E C b o 由于CD小于或等于圆的半径， 用不等式表示为 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长。 基本不等式： 当且仅当a =b时，等号成立. 当且仅当a=b时，等号成立. 重要不等式： （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。 注意： （1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 反思总结 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ 解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 三、应用 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 即 积定和最小 解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m , 则2x+2y=36, 即x+y=18，矩形菜园的面积为xy m。 当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。 因此，这个矩形的长为9m、宽为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2 。 （2）一段长为36 m的篱笆围矩形菜园，问这个 矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大， 最大面积是多少? 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值 即 和定积最大 四、巩固练习 例1、若 ,求 的最小值. 解： 例2、已知 ,求函数 的最大值. （1）一正：各项均为正数 （2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。 （3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误 解： 小结：利用 求最值时要注意下面三条： 1、本节课主要内容？ 你会了吗？ 五 、小结 2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。 五 、作业