【精选】浙大2005年考研数学分析试题.docVIP

浙江大学2005数学分析 计算定积分： 解： 假设f(x)在[0,1]Rieman可积，，求 解：利用可积的定义和Taylor展开作 设a,b,c是实数，b-1,c≠0,试确定a,b,c，使得 解：不断利用L’Hospital法则 f(x)在[a,b]上连续，对于，求证： 证明：利用实数系的几个定理就可以了 5．(1)设f(x)在[a,+∞]上连续，且收敛，证明：存在数列，使得满足， (2) 设f(x)在[a,+∞]上连续，f(x)≥0,且收敛，问：是否必有，为什么？ 证明：（1）此题也可以用反证法来解决，也非常简单。 （2）不是，构造一个锯齿形的函数 设f(x)在[0,+∞]具有二阶连续导数，且已知和都是有限数，求证： 证明： 根据Taylor展开： 由题1的结论： 7．设f(x)在任何有限区间上Rieman可积，且收敛，证明： 证明：分成两段，然后把它化成级数来考虑，做的有点麻烦。 8．（1）将arctan x展开为幂级数，并求他的收敛半径 （2）利用（1）证明： 利用（2）的公式，近似计算的值，需要用多少项求和，误差不会超过？ 解：（1） （2）将x=1代入 （3）利用Taylor展开的余项 9．设U(x,y)是R2/{0,0}上C2径向函数，即存在一元函数f，u(x,y)=f(r),r=，若满足如下的方程：，求f满足的方程及函数u(x,y) 解：我对复变函数学的不多，只能看出u(x,y)应该是调和函数，应该可以找到一个共轭的调和函数，然后接下来是不是可以继续作我就不是很了解了。 10．（1）设f是R1的C1，周期为L的函数（L0）。且,l利用f的Fourior级数展开证明：，当且仅当存在常数，使得 （2）设是R2上具有C1光滑的连通区域。设是的面积，则 其中 （3）同上，是的边界长度，利用（1）（2）证明：，当且仅当时圆盘等号成立。 证明：（1） （2） （3）本题的证明是从陈纪修老师的《数学分析（下册）》P.432的定理16.3.7找到的 我觉得这道题目的难点是把l2表达出来，开始，我直接用了极坐标的方法来做，结果在一个不等号出出现了问题。他做了一次参数方程，在变换到弧度制，巧妙的把l2的问题解决了。