数值分析8.非线性方程求解.pptVIP

第七章 非线性方程的数值解 第七章 非线性方程的数值解 §1 二分法 §2 迭代法 2.1 迭代格式 2.2收敛性条件 2.3迭代法的收敛阶 §3 牛顿迭代法 3.1 迭代格式 3.2 迭代法的收敛阶 §4 弦割法 §1 二分法 §2、一般迭代解法 一、迭代格式的构造 二、收敛性条件 三、迭代法的收敛阶 §3、牛顿迭代法 一、迭代格式 二、收敛性与收敛阶 §4 弦截法（割线法） 一、双点弦截法 二、单点弦截法 第八章 总 结 二 分 法：根的存在唯一性、计算公式及精度控制 一般迭代法：迭代法的构造、收敛性和局部收敛性定 理、收敛阶、精度控制 牛顿迭代法：迭代公式、局部收性与收敛阶、几何意义 弦 截 法：双点弦截公式与单点弦截公式、几何意 义、收敛性与收敛阶 算法的程序： 各个算法的程序设计 第八章 练习题 a =2,ε=10-5 a =3,ε=10-5 a =5,ε=10-5 x0 =1x1 =1x2 =1x3 =1x4 =1x5 =1x0 =1x1 =2x2 =1x3 =1x4 =1x5 =1x0 =1x1 =3x2 =2x3 =2x4 =2x5 =2x6 =2对于牛顿迭代法 当 f ’(x) 不存在时，可以用 作近似代替,得到 并称其为双点弦截法。 其几何几何解释为： 在曲线上任取两点(x0 , f(x0))、 (x1 , f(x1))，作割线，方程为 令 y=0, 解得： 再过两点(x1 , f(x1))、 (x2 , f(x2))作割线，得割线方程： 再令 y=0, 解得： 以此类推，最后得到的近似解 x0 , x1 , x2 , … 越来越靠近 x*。 x0 x y o a b x* x1 x2 (x0 , f(x0)) (x1 , f(x1)) x3 x4 y x1 x o a b x* x0 x2 (x1 , f(x1)) x3 (x0 , f(x0)) (x2 , f(x2)) x0 x y o a b x* x1 x2 (x0 , f(x0)) (x1 , f(x1)) x3 在曲线上过两点(x0 , f(x0))、 (x1 , f(x1))作割线，方程为 令 y=0, 解得： 再过两点(x0 , f(x0))、 (x2 , f(x2))作割线 得割线方程： 再令 y=0, 解得： x4 以此类推，可以得到单点弦截公式： 这样，针对方程 f(x)=0 ，具有两种弦截公式： 另外关于弦截法，由下面的收敛性定理 双点弦截公式： 单点弦截公式： 定理8.3 如果函数 f(x) 在零点x*附近二阶连续可微， f’(x*)≠0, 且初值x0、x1 充分接近x* ，则弦截法迭代过程 收敛，收敛速度为： f’(x)=3 x2-2在[2,3]上严格单调，所以方程在[2，3]内有唯一实根。 例8.8 对于 x3-2x-5=0 , 试构造出双点弦截公式求解. 取初值 x0=3 , x1=2 , 可以求得 x2=2.058823529 . 或 解：令 f(x)= x3-2x-5 ，则有 f(2)= -1, f(3)=16, 又知 得到： 这样，由双点弦截公式 * * * x y o a b * x* 这种方程往往无法求得其精确解，只能通过数值方法求其近似解。这里我们将介绍两种数值方法： 非线性方程求根是我们经常碰到的问题，例如： (1). 二分法; (2). 迭代法：一般迭代法、牛顿迭代法、弦截法. 对于 f(x)=0 （8.1） 设 f(x)∈C[a,b] ，且 f(a) f(b)0 ，则知（8.1）在(a,b) 内至少有一实根 x* 。 如果在(a,b)内有(8.1)的唯一实根 x* ： 则可以用二分法进行求解，求解的步骤如下 ： x y o a b * x* Step1 计算f(a)、f(b) 及 若 令 a1=a , 若