数值分析2(二分法).pptVIP

*/19 */19 化大为小 化繁为简 化难为易 核心的概念 误差 算法的构造与分析 病态性 收敛性 稳定性 复杂性 * 非线性方程 二分法迭代 《数值分析》2 ? ? * GPS (Global Positioning System)和LBS (Location Based Service) xyz位置 收到信号时间 S1 3,2,3 10 010.006 922 86 S2 1,3,1 10 013.342 563 81 S3 5,7,4 10 016.678 204 76 S4 1,7,3 10 020.013 845 71 S5 7,6,7 10 023.349 486 66 S6 1,4,9 10 030.020 768 57 * Ref: Timothy Sauer, Numerical Analysis * 非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向,其中非线性方程的求根是一个不可或缺的研究内容。但是非线性方程的求根非常复杂。 高于４次的代数方程,不存在通用的求根公式 超越方程一般很难直接求出其准确解 * 例: 求 f (x)= 0 根的问题包括如下方面: 根的存在性,即f(x)=0有没有根? 若有,有 几个根? 根的范围,确定有根区间 根的精度,已知一个根的近似值后,能否 将它精确到足够精度? * Where is Flight MH370? 定理2(零点定理) 若函数f在闭区间[a, b]上连续,且f(a)与f(b)异号, 则至少存在一点 x0属于(a,b),使得f(x0)=0,即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。 零点定理回答了根的存在性和根的范围的 问题,如何去寻找足够精度的根？ * 游戏:模仿幸运52请同学们猜测这部电脑的价格？ * 化大为小 * [a0,b0] x0=0.5(a 0 +b 0) [a1,b1]=[a 0,x0] [a1,b1]=[x0,b0] x1=0.5(a1+b1) 已知f(x)=0在[a0,b0]内有一根,且f(a0)f(b0)0 (2)判断若f(xn-1) f(an-1)0,则an?an-1,bn? xn-1 否则 an?xn-1, bn?bn-1 x0 ? x1 ? ··· 二分法迭代 * (1)计算 xn-1=0.5(an-1+bn-1)和f(xn-1) 判断若f(xn-1)=0,则xn-1是根,否则转下一步; 二分法迭代将得到一系列区间序列 定理2.2 设x*是 f(x)=0在[a 0, b 0]内的唯一根,且 f(a 0)f(b 0)0,则二分过程中,各区间的中点数列 性质:1. f(an)f(bn)0; 2. bn – an = (b0 – a0)/ 2n 满足 | xn – x*|≤ (b 0 – a 0)/ 2n+1 只需 ? 注记: 若要 * 例 1 二分法求方程 在区间 [0, 1]内的根。 函数在[0,1]内有唯一零点, 故[0,1]是隔根区间。 解: 令 * n 函数值符号 区间 1 f(0.5)= - 0.10060 [0,0.5] 2 f(0.25)=0.39610 [0.25,0.5] 3 f(0.375)=0.13170 [0.375,0.5] 4 f(0.4375)=0.01130 [0.4375,0.5] x4=0.5(0.4375+0.5)=0.4688作为近似值, 误差不超过1/(2^5) 。 * 二分法思想朴素却蕴含了迭代法的近 似逼近思想。 思想简单, 仅需函数值符号, 容易实现。 二分法的反思: 收敛速度慢和不能求复根等不足。 function root = bisect(func,x1,x2,filter,tol) for i = 1:n x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = feval(func,x3); if f3 == 0 root = x3; return end if f2*f3 0 x1 = x3; f1 = f3; else x2 = x3; f2 = f3; end end Iteration in mathematics may refer to the process of iterating a function i.e. applying a function repeatedly, using the output from one iteration as the input to the next. Iteration of apparen