常微分方程ODE2-课件（PPT-精）.pptVIP

复习 分离变量方程的解法: 例1. 求微分方程 例2. 解初值问题 例3. 求下述微分方程的通解: 练习: 例4. 例5. 综合例题 已知曲线积分 思考与练习 例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 一、齐次方程 例1. 解微分方程 例2. 解微分方程 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 说明: 二、可化为齐次方程的方程 例4. 求解 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 一、一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 例1. 解方程 例2. 求方程 例3. 有一电路如图所示, 因此所求电流函数为 二、伯努利 ( Bernoulli )方程 例4. 求方程 内容小结 思考与练习 综合题 2. 设有微分方程 2) 再解定解问题 例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 伯努利(1654 – 1705) 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 由一阶线性方程通解公式 , 得 故方程可 变形为 所求通解为 这是以 为因变量, y为 自变量的一阶线性方程 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 电阻 R 和电 ～ 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 因此有 即 初始条件: 由回路电压定律: 其中电源 求电流 感 L 都是常量, ～ 解方程: 由初始条件: 得 利用一阶线性方程解的公式可得 暂态电流 稳态电流 ～ 解的意义: 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 的通解. 解: 令 则方程变形为 其通解为 将 代入, 得原方程通解: （原方程一特解:y=0 ） 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 利用公式可求出 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用 得 故有 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分, * 微分方程的概念 微分方程; 定解条件; 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 解; 阶; 通解; 特解 y = – x 及 y = C IV 积分曲线与向量场 表示区域D一条光滑曲线，称之为方程的积分曲线. 设D 为平面上的区域，考虑微分方程 方程的通解 当C 变动时，表示区域D的 一族曲线，称之为积分曲线族. 转化 初等积分法 解分离变量方程 可分离变量方程 第二章 设 y＝? (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝?(y) 也是①的解. 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 解法 1 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 所求通解: (试用适当的变量代换) 解法2 分离变量 即 ( C 0 ) 子的含量 M 成正比, 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 (初始条件) 对方程分离变量, 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 然后积分: 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞