高中数学：230《二次函数与一元二次方程》教案（苏教版必修1）.docVIP

第三十课时二次函数与一元二次方程的根也称为二次函数（≠0）的零点． 2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系 （1）一元二次方程（≠0）有两个不相等的实数根，判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有两个交点为，对应的二次函数（≠0）有两个不同的零点，； （2）一元二次方程（≠0）有两个相等的实数根=判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有唯一的交点为（，0）对应的二次函数（≠0）有两个相同零点=； （3）一元二次方程（≠0）没有实数根判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴没有交点对应的二次函数（≠0）没有零点． 3. 推广 ⑴函数的零点的概念 一般地，对于函数，我们把使的实数叫做函数 的零点． ⑵函数的零点与对应方程的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 【精典范例】 例1：求证：一元二次方程有两个不相等的实数根． 【解】证法1 ∵= ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 证法2 设， ∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且∴函数的图象与轴有两个不同的交点，即一元二次方程有两个不相等的实数根． 点评:例1还可用配方法将方程化为再证明．也可仿照证法2，由抛物线开口向上及来推证． 例2：右图是一个二次函数的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较，与的大小关系． 【解】（1）由图象可知此函数的零点是：，． （2）由（1）可设= ∵ ∴ ∴．即这个二次函数的解析式为． （3）∵，， ，， ∴，． 点评:例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想． 例3：当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围： （1）方程的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程的两根都小于； （3）方程的两根都在区间上； （4）方程的一个根在区间上，另一根在区间上； （5）方程至少有一个实根小于． 分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定的不等式（组）． 【解】⑴ 设，其图象为开口向上的抛物线．若要其与轴的两个交点在点的两侧，只需，即，∴ ． ⑵ 当时，满足题意． 当时，设. 若要 方程两根都小于1，只要 综上，方程的根都小于1时， ⑶ 设则方程两个根都在 上等价于： ∴． （4）设，则方程一个根在上，另一根在上等价于 或． （5）设，若方程的两个实根都小于，则有 若方程的两个根一个大于，另一个小于1，则有, ∴． 若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为， ∴， ∴． 综上，方程至少有一实根小于时，． 点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力． 追踪训练一 1. 函数的最大值是，则 （ D ） A． B． C． D． 2. 设，, ，则 （ B ） A． B． C． D． 3. 若关于的方程有一根在内，则_____． 4.若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是_________________． 【选修延伸】 一、二次函数与一元二次方程根的关系 例4:已知，是方程 ()的两个实根，求的最大值和最小值． 分析的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以为自变量的的函数解析式． 【解】因为方程()有两个实根，所以 ，解得 又，， 所以 ． 而是减函数，因此当时，取最大值，当时，取最小值． 点评的取值范围，否则无法确定函数的单调性． ． 追踪训练二 1． 若方程在内恰有 一解，则的取值范围是（ B ） A． B． C． D． 2．已知，并且、是方程的两个根，则实数、、、的大小关系可能是（ A ） A．　　　B． C．　D． 3．不等式对一切实数都立，则的取值范围是. 4． 已知二次函数和一次函数，其中，且， （1）求证：两函数、的图象交于不同两点、； （2）求线段在轴上投影长度的取值范围． 答案：（1）∵，，∴,．由 得， 因为． 所以两函数、的图象必交于不同的两点； （2）设，，则 ．∵，，∴． ∴（，）． 第30课二次函数与一元二次方程 分层训练： 1．函数的零点是（ ） A．， B．， C．， D．不存在 2．关于的不等式的解集是，则等于（ ） A． B． C． D． 3．不等式对恒成立，则的取值范围是（　 ） A． 　B． C．