第7章实际应用问题.docVIP

第7章 实际应用问题 本章学习的主要目的： 初步掌握数学建模的思想,能对简单实际问题建立数学模型,并用MatLab进行求解分析. 7.1 影院最佳座位问题 如图1,某影院放映场内的荧幕高为7.62米，其下沿距地面3.05米，第一排座位离荧幕距离为2.74米，每两排座位间距为0.91米，共设21排，剧场地面从第一排座位开始为一倾斜角为20度的斜坡，设观众所在的座位离斜坡起点处的距离为x米（）。现假设观众的最佳位置是这样的位置，它使得观众眼睛对荧幕的张角最大，又设观众的眼睛距地面1.22米，试问哪一排的座位最佳？试画出张角随x变化的图形，并求出在x的变化区间[0,18.2]上的平均值。 图1 定义辅助函数，令a=观众与荧幕顶的距离，b=观众与荧幕底的距离，由勾股定理和余弦定理推出张角和距离x的函数关系: ， MatLab操作步骤: 单击菜单file，new，m-file，进入matlab编辑窗口。 在编辑窗口输入 function y=f(x) a=(2.74+x*cos(20*pi/180)).^2+(9.45-x*sin(20*pi/180)).^2; b=(2.74+x*cos(20*pi/180)).^2+(x*sin(20*pi/180)-1.83).^2; y=acos((a+b-7.62*7.62)./(2*sqrt(a.*b))); y=y*180/pi; 单击菜单file，save存盘，命名为f.m 回到matlab命令窗口，输入 x=0.91*(0:20); y=f(x); x=0:20; plot(x,yk) grid on 图2 5）从图形2观察，结论是:座位最佳为第3排。 6）计算张角的平均值。在命令窗口输入： mean(y) 执行结果ans = 35.5989 7.2 陈酒出售最佳时机问题 某酒厂有批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入R0=50万元(RMB)，如果窖藏起来待来日（第n年）按陈酒价格出售，第n年末可得的总收入为（万元）。而银行利率为r=0.05。试分析这批好酒窖藏多少年后出售可使总收入的现值最大。 第一种方案：如果现在出售这批好酒，可得本金50万元，由于银行利润率为：r=0.05，按照复利计算公式，第n年连本带利资金积累为：; 第二种方案：如果窖藏起来，待第n年出售，原来的50万元到第n年时增值为： ; 1.利用这两个不同的公式，分别计算出8年内采用两种方案，50万元增值的数目，将计算所的数据记录下来。 比较所得数据考虑如下问题： （1）如果酒厂希望在2年内投资扩建酒厂，应选择哪一种方案使这批好酒所具有的价值发挥最大作用？ （2）如果酒厂希望在6年后将资金用作其他投资，应该选用哪一种方案？ 2.假设现在酒厂有一笔现金，数额为X（万元），将其存入银行，到n年时增值为R(n)（万元），根据复利公式，，则称X为R(n)的现值。故R(n)的现值计算公式为: X(n)=R(n)/(1+0.05)n。 将 代入上式，可得酒厂将这批好酒窖藏起来作为陈酒在第n年后出售所得总收入的现值为X(n)= /(1+0.05)n,利用这一公式，计算出8年内陈酒出售后总收入R(n)的现值数据。 根据以上数据考虑以下问题： （1）第三种方案，如果酒厂打算将这批好酒出售所得收入用于8年后的另外投资，应选择哪一年作为出售陈酒的最好时期； （2）第四种方案，如果综合考虑银行利率，将出售陈酒后所得总收入再存入银行，使得8年后资金增加最大，又应该作何选择？ 8年后资金变为： 3.考虑银行利率按连续复利公式计算，而酒厂将这批好酒窖藏到第n年，作为陈酒出售总收入为：，结合这两个计算公式，将t年后陈酒出售总收入的现值视为时间的函数，试写出函数的表达式，并在[0,10]做出函数的图。利用一元函数极大值的方法求出酒厂将这批好酒作为陈酒出售的最佳时机。 MatLab操作步骤: (1)单击菜单file，new，m-file，进入matlab编辑窗口。在编辑窗口输入 n=1:10; r1=50*(1+0.05).^n r2=50*exp(sqrt(n)/6) r3=r2./r1*50 r4=r2.*(1+0.05).^(8-n) plot(n,r1,) %见图3 hold on plot(n,r2,*) 图3 figure(2) subplot(,1) %见图4 plot(n,r3k) subplot(1,2,2) %见图plot(n,r4,k) 单击菜单file，save存盘，命名为sf1.m (2)回到matlab命令窗口，输入sf1，结果记录在下表。 年度 1 2 3 4 5 6 7 8 方案1 52.5000 55.1250 57.8813 60.7753 63.8141 6