悬链线趣谈.docxVIP

约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de lHospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观 察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利 提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二 阶常微分方程，解此方程并适当选取参数，即得悬链线。悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时 略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平 了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的 家族，其二，有关悬链线的几个结论，可以用变分法来证明！据说牛顿看到题目后花了一个晚上就解出来了，也是第一个引入变分法的，伯努利的说法是：我从他的利爪认出了这头狮子。神奇的数e出现了，就写在蜘蛛丝上面。在薄雾的清晨，让我们观察昨夜织成的蜘蛛网，具黏性的丝，负载着小水珠的重量，弯曲成一条条的悬链线，水珠沿着曲线排 成美丽的项链。当晨曦穿透雾气，照射在蜘蛛网上，闪耀着彩虹色的亮光，就像一盘夺目的珍珠，荣耀归功于e。──法布尔法布尔（Fabre,1823~1915）是法国著名的昆虫学家，他说：「在昆虫的世界里，可以激发我所有的思想与灵感。」这份「热 情」（passions）推动着他研究昆虫的生活与行为，并且写出《昆虫记》之不朽名著，因而被后人尊称为「昆虫诗人」或「昆虫学界的荷马 （Homer）」。他观察到的蜘蛛网项链，就是上述那段话的由来。问题的提出固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程式是什么？这就是著名的「悬链线问题」(the hanging chain problem)。在1690年由贾可比?贝努利（Jakob Bernoulli,　1654～1705）公开提出来，向数学界挑战，征求答案。在微积分初创时期，它正好可用来考验微积分的威力。这是一段有趣而又极具启发性的历史，值得我们重温一遍，细细品味。在大自然中，除了悬垂的项链与蜘蛛网的水珠项链外，我们还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。由大自然引导出来的数学，让我们觉得「有土、有根」，并且沾染、散发着「就在身边的亲切感」。大家都看过海豚跃水的表演，以及石头（或炮弹）飞过天际的现象，并且知道它们的轨迹都是拋物线（parabola），这是超乎欧氏几何的曲线。基本上，欧氏几何只研究由直线与圆所交织出来的图形世界。亚里斯多德的错误然而古希腊伟大哲学家（百科全书般的人物）亚里斯多德（Aristotle,384～322