导数的应用章末归纳整合.pptVIP

1．f′(x)0与f(x)为增函数的关系：f′(x)0，则f(x)为增函数，反之不一定成立，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.所以f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件． 2．f(x)不是常函数时f′(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)为增函数，必有f′(x)0，反之，f′(x)0，必有f(x)为增函数，所以f(x)不是常函数时f′(x)0是f(x)为增函数的充要条件． 3．f′(x)≥0与f(x)为增函数的关系：f(x)为增函数必可推出f′(x)≥0，反之，f′(x)≥0即f′(x)0或f′(x)＝0.当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)必为常函数，不具有单调性．所以f′(x)≥0是函数f(x)为增函数的必要不充分条件． 对于减函数也有上述三种关系． 利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求导数f′(x)； (2)解不等式f′(x)0或f′(x)0； (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 解　∵a·b＝(x2，x＋1)·(1－x，t) ＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t， ∴f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t. ∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t. 若f(x)在区间(－1,1)上是增函数， 则当x∈(－1,1)时，f′(x)≥0， 即－3x2＋2x＋t≥0， 得t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立． 一般地，若已知函数f(x)在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解． 1．函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值． 2．若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数，即区间上的单调函数没有极值． 3．可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号． 1．与函数的极值不同，函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较． 2．一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．函数的最值最多只有一个，且函数的最值必在下列点中取得：导数为0的点，区间端点和导数不存在的点． 使其导函数f′(x)0的x的取值范围为(1,3)． (1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值； (2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值． 　(1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c ＝3a(x－1)(x－3)(a0) ∴在(－∞，1)上f′(x)0，f(x)是减函数， 在(1,3)上f′(x)0，f(x)是增函数， 在(3，＋∞)上，f′(x)0，f(x)是减函数． (1)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为： ①求f(x)在(a，b)内的极值点，并计算出其函数值； ②将极值点的函数值与f(a)、f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上能取到最大值与最小值；若连续函数在闭区间上只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点． 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点． (1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域． (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数的解． (3)比较导函数x的各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值． (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值． 　根据题意可直接列出日利润y关于产量x的函数关系式，然后利用导数求解模型，要注意函数的定义域． 解决实际问题中的最值