牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式.docxVIP

牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式吕 勇，刘兴国（湖南株洲工学院 信息与计算科学系，湖南 株洲 412008）摘 要：牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法，在通常情况下，它具有至少平方 f ( xn ) 收敛。本文利用文献[4]所建立的迭代格式 xn +1 = xn ? α f ( x ) + f ′( x ) ，对迭代格式中的参数 α 的讨论，nn实现了牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式。关键词：非线性方程；牛顿迭代法；加速收敛；迭代格式文章编号：1009－5160(2006)－0068－03中图分类号：O174文献标识码：A1 引言在科学和工程计算中，常常需要用数值计算方法求解非线性方程f ( x ) = 0在一系列数值计算方法中，牛顿迭代法无疑是求解此类方程的一种重要的数值方法，其迭代格式为（1） f ( xn )x= x ?（2）n +1nf ′( x )n众所周知，牛顿迭代法在通常情况下具有至少平方收敛，即：定理 1：设函数 f ( x ) 满足 f ( x* ) = 0 ， f ′( x* ) ≠ 0 且 f ( x ) 在 x* 的邻域内有二阶连续导数，则当初值 x 足够0接近 x* 时，由迭代式（ 2）可知序列 {x } 至少是平方收敛的[3] 。n*但是，我们知道，利用牛顿迭代法在求解非线性方程（1）时，初值 x0 必须选定在方程解 x 的附近，同时 每一步迭代都要保证 f ′ ( xn ) ≠ 0 。为了克服牛顿迭代法这一局限性，许多学者呕心沥血，从不同侧面和角度来克服它、改善它，并得到了很多好的结果。文献[4]就是为了克服第二种局限性，利用动力系统平衡点原理，成功 地解决了这一问题，并由此构造了新的迭代格式。定理 2：设 f ′′( x ) 在 x* 的充分小的邻域内连续， f ( x* ) = 0 ， f ( x* ) ≠ 0 。α f ( x ) + f ′( x ) ≠ 0（其中 α +∞ ），则迭代格式 f ( xn ) x = x ?（3）n +1nα f ( x ) + f ′( x )nn是平方收敛的，并且他们和牛顿迭代格式具有相同的计算效能。由于迭代格式中的参数 α 可以取一切实数，因此在对非线性方程（1）利用迭代格式（3）进行数值计算时， 为了保证每一步迭代都能顺利进行，只要选取 α f ( xn ) + f ′ ( xn ) ≠ 0 的参数 α 即可。2 牛顿迭代法加速收敛的修正式（3）是带有参数 α 的一族迭代格式，当 α = 0 时，则对应了经典的牛顿迭代格式（2）。选择不同的参数 α收稿日期：2006-01-12作者简介：吕勇（1966-），男，讲师、硕士，研究方向：微分方程数值解，有限元超收敛.69第 2 期吕 勇，等：牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式就得到修改后的牛顿迭代法。根据定理 2，每一种迭代法都至少具有平方收敛。于是我们提出，是否可以在迭代格式中找寻一个 α ，使得迭代格式有加速收敛的效果呢？设（1）式的等价方程为：x = ? ( x )根据方程（4）建立迭代格式：xn +1 = ? ( xn ) 。 (n = 0,1, 2,…)如果迭代格式（5）满足不动点原理。不妨设 x* 是式（5）的不动点，则有定理 3：[1 - 2 ] 对于不动点迭代格式（5）。若 ?(k ) ( x ) 在所求根 x* 充分小的邻域内连续，并且有? ( x* ) = ? ( x* ) = … = ?(k ?1) ( x* ) = 0 ， ?(k ) ( x* ) ≠ 0则此迭代法在 x* 邻域内是 k 阶收敛的。对非线性方程（1），根据定理 2 的迭代格式，设（4）（5）f ( x )? ( x ) = x ?在 x* 邻域内满足 ? ( x ) 连续条件下，有（6）α f ( x ) + f ′( x )? ( x ) = 1 + f ? f ′ ? f ′2（7）(α f + f ′)2(α f ′ + f ′′)( f ? f ′ ? f ′ )2? ( x ) = f ? f ′′′ ? f ′ ? f ′?2（8）(α f + f ′)2(α f + f ′)3其中： f (i ) = f (i ) ( x ) ， i = 0,1, 2, 3 。因为 f ( x* ) = 0 ，则 ? ( x* ) = 0 ，所以无论 α 取何值，迭代格式（3）至少具有二阶收敛。下面为了讨论具有更高阶的收敛，比如至少具有三阶收敛，那么根据定理 3，必须保证 ? ( x* ) = 0 ，? ( x* ) = 0 。 实际上只需要讨论 ? ( x* ) = 0 。因此欲使 ? ( x* ) = 0 ，则只需选取满足条件 2α