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3浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变张良勇,董晓芳(燕山大学理学院,河北秦皇岛066004)摘要:本文介绍了在积分学的发展过程中出现的两大积分———黎曼积分与勒贝格积分的演变过程。关键词:黎曼积分;勒贝格积分中图分类号:O177.4文献标识码:A积分是整个分析数学中最基本的概念,现有的积分有两种形式,一种是作为近代数学核心的黎曼积分(下文简称R积分),一种是作为现代实变函数论中的勒贝格积分(下文简称L积分)。数学的发展表明:两种积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用,同时,L积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命。本文详述两种积分的产生与发展的过程,进而阐明这两个积分概念的演变过程。nnmm-1k∑OAOAkm.OA∑S==nnnnk=1k=1由于当时已有了连续n个自然数的m次幂之和的计算公式,3时,因此不难计算出Sn.例如,m=n4OA3∑kSn=nk=1432OAn+2n+n=n4R积分的产生与确立目前,微积分教程所介绍的积分概念和方法,起源于17世纪微积分的创始人牛顿和莱布尼兹创立的微积分,接下来的两个世纪,经过著名分析大师欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西、维尔斯特拉斯、康托等人的努力,积分概念逐步发展,最终成形于黎曼和达布,现在通称这种积分为R积分。R积分开始于曲边形的面积和曲面体的体积的计算这类几何问题。十七世纪初,欧洲的数学家们试图改进古希腊人解决类似问题时所采用的穷竭法,这种方法需要根据几何图形的特殊性质采用一些特殊的技巧,因而缺少通用性。欧洲的数学家们几乎不约而同地采用了n等分区间[O,A],用n个小矩形面积的和去逼近这个区间上幂函数y=xm(m∈N)图象下的面积的方法,得到所求面积的近似值为1111=OA4++.4n242n14当n越来越大时,Sn便越来越接近于4OA.尽管当时还没有极限理论,但人们已意识到,这便是所求面积的值,这种方法的思想类似于我国古代刘徽的割圆术。这种方法,就是R积分的雏形。它相当于用等分法作区间的分割,取各个小区间的右端点为介点,即当点A的横坐标为a时,k分点为=a(k=1,2,n,n-1)xkk介点为ξk=a(k=1,2,nn)积分和为nnka∑k=1f(ξk)Δx=∑f(a)nnkk=13收稿日期:2006-04-26作者简介:张良勇(1980-),男,河北沧州人,燕山大学理学院硕士研究生,主要从事概率统计、高等数学教学及其研究工作。19第19卷第4期2006年8月高等函授学报(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)Vol.19No.4August2006n分和k=∑f(a).a(1)nnnk=1∑f(ξk)Δxkf(ξ1)Δx1+f(ξn)Δx.n=+所求面积便是这个积分和当n→∞时的极限,现在用定义计算定积分的值时,还应用这种方法。这种方法的局限性在于,对于任意函数y=f(x),积分和(1)是否当n→∞时都存在极限?即使极限存在,曲边形的面积作为一种客现存在,它的值应当与区间的分割方法和介点的选取无关。换言之,如果任意选取分点和介点的话,这无穷多个积分和是否都具有相同的极限?这些问题不仅在17世纪,甚至在整个18世纪也未曾引起人们的注意。这是由于那个时代,函数的概念尚未精确化,极限理论也未完善化,人们只求方法的有效性,而不注意概念的严格性。在数学中占据着统治地位的仍是几何方法。所以,一种数学工具,当其缺乏思想的深刻性和方法的通用性时,是难以形成一个严谨的数学体系的。积分概念的严密化,是同函数概念的不断明晰息息相关的。如果说,17世纪的函数概念还只是一些简单的代数函数的话,那么到了18世纪,欧拉已将它拓广到由一些常数与变量形式的有限或无限的解析表达式。但在18世纪积分概念之所以未能取得实质性的进展,除了数学家们在处理积分问题时,过多地依赖物理的或直观的意义外,还在于数学家整体上的思维定势,他们往往把一些简单函数(如代数函数)的性质,随意地推广到所有的函数上去。在这种思想指导下,他们并不认为———甚至根本没有注意到,研究积分的存在性有什么意义。在数学史上,第一位对积分概念做出开创性工作的是19世纪的柯西,他在进一步明确函数概念的基础上,确定了极限、连续、导数与微分等概念,并第一次提出用分割区间作和式的极限来定义积分,同时,给出了连续函数定积分的确切定义。k=1他把f(x)在[x0,x]上可积定义为nf(ξk)Δxlim|Δx|→0k∑(2)=Ikk=1存在,其中|Δx|=max{Δx},并且称I为在区间kk1≤k≤nb[x0,x]上的定积分即∫afxdx=I.()进而他证明了,对于区间[x0,x]上的连续函数f(x),不论怎样选取分点xk和介点ξk,极限(2)均存在,即他定义的连续函