浅谈正项级数收敛性的几种判别方法.docVIP

浅谈正项级数收敛性的几种判定方法 摘要 级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题归纳正项级数收敛性））和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有 （i）若级数收敛，则级数也收敛； （ii）若级数发散，则级数也发散。 推论 设 ， （1） （） 是两个正项级数，若 ， （3） 则 （ⅰ）当时，级数（1）、（2）同时收敛或同时发散； （ⅱ）当且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛； （ⅲ）当且级数（2）发散时，级数（1）也发散。 考察的收敛性。 解 由于当时，有= 因为正项级数收敛，通过比较原则可得级数也收敛。 以上例题，用比较原则判断该正项级数，结果是收敛的。现在继续用比较原则来判断一个正项级数的发散性。 判定正项级数的敛散性。 解： 因为 而级数=…+…是去掉首项的调和级数，因而是发散的，根据比较收敛法知所给级数发散。 例3、判定正项级数=的敛散性。 解：正项级数=是发散的，因为的根据推论以及调和级数发散，所以级数也发散。 比较判别法是一种有用的判别法，在使用时必须先要对所考虑的级数的敛散性有一个大致的估计，然后找一个敛散性已知的合适级数与之相比较。但就绝大多数情况而言，这两个步骤具有相当的难度，甚至根本无法做到。看来，理想的判别方法还是应该着眼于对级数自身元素的分析，下面我们介绍几种这样的判别法。 （2）达朗贝尔判别法，或称为比式判别法 比式判别法也是一种常用的判别正项级数收敛性的方法。通过正项级数的后项与前项的比值来判断收敛性。比式判别法适合与有公因式且 存在或等于无穷大的情形。 设为正项级数，且存在某正整数及常数。 若对一切，成立不等式 则级数收敛。 若对一切，成立不等式 则级数发散。 推论 （比式判别法的极限形式）设为正项级数，且 ， 则 （ⅰ）当时，级数收敛； （ⅱ）当或 时，级数发散； （注）当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，。 例1、判定级数 的敛散性 。 解 由于 于是有 由比式收敛法知，所给级数收敛。 用比式判别法判断正项级数的敛散性。 解：因为 = 根据推论，正项级数发散。 例3、判定正项级数的敛散性。 解 因为 = = 根据推论，正项级数发散。 （3）柯西判别法，或称根式判别法 柯西判别法也是一种判断正项级数敛散性的方法，较之于达朗贝尔判别法，它用起来更有效。柯西判别法适合中含有表达式的次幂，且 或等于的情形。 设是正项级数 （i） 如果存在自然数N和一个常数r(0,1 )使得 r, nN, 那么级数收敛 如对无穷多个n有 1 那么级数发散。 推论 （根式判别法的极限形式）设为正项级数，且 ， 则 （ⅰ）当时，级数收敛； （ⅱ）当（可为）时，级数发散； 注: 当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，. 例1、判断正项级数的敛散性。 解：因为 根据推论，级数 收敛 判定正项级数的敛散性。 解：因为 从而当ba时，该级数发散； 当ba时，该级数收敛； 当b=a时，该级数的敛散性不能确定。 例3、讨论级数的敛散性。 解：由于 根据推论，正项级数是收敛的。 注：在（1）中若，则根式判别法无法对级数的敛散性作出判断。例如对级数和，都有，但级数收敛，而发散。 说明：因，所以这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。 由例3可知道若一个正项级数的敛散情况可以由达朗贝尔判别法判定，则它一定也能用柯西判别法来判定。但是，能用柯西判别法判定的，我们却未必能用达朗贝尔判别法判定。 （4）积分判别法 积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。对于正项级数，如果可看作由一个在上单调减少函数所产生, 即有 则可用积分判别法来判定正项级数的敛散性。 积分判别法：设为上的非负减函数，那么正项级数与反常积分同时敛散。