新课标八年级数学竞赛培训第31讲：完全平方数和完全平方式.doc

第31讲：完全平方数和完全平方式 一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分） 1．（3分）若x是自然数，设y=x4+2x3+2x2+2x+1，则（　　） 　 A． y一定是完全平方数 B． 存在有限个，使y是完全平方数 　 C． y一定不是完全平方数 D． 存在无限多个，使y是完全平方数 　 2．（3分）已知a和b是两个完全平方数，a的个位数字为l，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则（　　） 　 A． x，y都是奇数 B． x，y都是偶数 C． x是奇数，y是偶数 D． x为偶数，y为奇数 　 3．（3分）如果是整数，那么a满足（　　） 　 A． a＞0且a是完全平方数 B． a＜0，且﹣a是完全平方数 　 C． a≥0且a是完全平方数 D． a≤0，且﹣a是完全平方数 　 4．（3分）设n是自然数，如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是（　　） 　 A． 1 B． 4 C． 5 D． 6 　 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 5．（3分）若四位数是一个完全平方数，则这个四位数是　_________　． 　 6．（3分）设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是　_________　． 　 7．（3分）设平方数y2是11个相继整数的平方和，则y的最小值是　_________　． 　 8．（3分）p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，则p的最大值为　_________　． 　 9．（3分）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是　_________　． 　 10．（3分）使得n2﹣19n+95为完全平方数的自然数n的值是　_________　． 　 11．（3分）自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n=　_________　． 　 12．（3分）两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是 　_________　． 　 三、解答题（共12小题，满分84分） 13．（6分）n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和． 　 14．（6分）一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数． 　 15．（8分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52﹣32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由． 　 16．（9分）已知：五位数满足下列条件： （1）它的各位数字均不为零； （2）它是一个完全平方数； （3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数． 试求出满足上述条件的所有五位数． 　 17．（8分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由． 　 18．（6分）使得（n2﹣19n+91）为完全平方数的自然数n的个数是多少？ 　 19．（8分）已知a1，a2，…，a2002的值都是1或﹣1，设m是这2002个数的两两乘积之和． （1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件； （2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件． 　 20．（8分）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方）， 证明：（1）2a，2b，c都是整数； （2）a，b，c都是整数，并且c是平方数； （3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？ 　 21．（7分）是否存在一个三位数（a，b，c取从1到9的自然数），使得为完全平方数？ 　 22．（6分）求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数． 　 23．（6分）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士？ 　 24．（6分）证明：是一个完全平方数． 　 新课标八年级数学竞赛培训第31讲：完全平方数和完全平方式 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分） 1．（3分）若x是自然数，设y=x4+2x3+2x2+2x+1，则（　　） 　 A． y一定是完全平方数 B． 存在有限个，使y是完全平方数 　 C． y一定不是完全平方数 D． 存在无限多个，使y是完全平方数 考点： 完全平方数．1552088 分析： 因为x是自然数，那么0也属于自然数．然后根据y=x