讲义9：数学归纳法.docVIP

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号____________________ 学员编号: 年 级： 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：郭建志 课 题 数学归纳法及其应用 授课日期及时段 教学目的 1.在知识上，要求学生了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法； 2.在能力上，培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力； 3.在情感上，激发学生的求知欲，增强学生的学习热情。 教学内容 一、提出问题 问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。 问题2：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2?180°，五边形的内 角和为3?180°，于是有:凸n边形的内角和为。 问题3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”。 答案：1.错 2.对 3.对 共同点：均用了归纳法得出结论； 不同点：问题1、2是用的不完全归纳法，问题3是用的完全归纳法。 二、归纳法 1、归纳法定义： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。 2、归纳法分类： 想一想： 由两种归纳法得出的结论一定正确吗？ 说明： （1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论不一定正确。 （2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。 如何寻找一种严格推理的归纳法？ 三、数学归纳法 数学家通过对正整数的深入研究，找到了一种证明与正整数有关数学命题的简单有效的方法，它的步骤是： (1)验证当取第一个值(，例如)时，命题成立；【归纳奠基】 (2)假设当时命题成立，证明当时命题也成立。【归纳递推】 在完成上面这两个步骤后，我们就可以断定这个命题对于从开始的所有正整数都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 注意：(1)两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。 (2)只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。 (3)数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。 你认为数学归纳法与多米诺骨牌有没有什么相似之处？ 四、数学归纳法的应用 题型一 用数学归纳法证明等式问题 例1、用数学归纳法证明 。 。 注意 1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可. 2.(1)(归纳奠基)是递推的基础，找准 (2)(归纳递推)是递推的依据，时命题成立作为必用的条件运用，而时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明。 【变式训练】 用数学归纳法证明：。 你证明出来了吗？看看这种解法和你的有什么不同？错了吗？错在哪里？ 题型二 用数学归纳法证明整除问题 例2、用数学归纳法证明 能被9整除。 【变式训练】 求证：能被6整除。 题型三 用数学归纳法解决探究性问题（归纳—猜想—论证） 例3、依次计算数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1，… ，的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明。 【变式训练】 已知数列设为该数列的前n项和，计算的值。根据计算结果猜测关于的表达式，并用数学归纳法证明。 【巩固练习】 1.用数学归纳法证明： 2.在数列中，已知 （1）求。 （2）猜想的通项公式，并证明你的结论。 五、反思总结。 六、课后作业 1．已知等式，以下说法正确的是（　　） A．仅当时等式成立　　　B．仅当时等式成立 C．仅当时等式成立　　D．为任何自然数时等式都成立 2．凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为（　　） A.f（n）+n+1 B.f（n）+n C.f（n）+n－1 D.f（n）+n－2 3．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（　　）A.2k+1 B.2（2k+1） C. D. 4．用数学归纳法证明时，假设时结论成立，则当时，应推证的目标不等式是　　　　　　　　　　　　. 5．用数学归纳法证明 中，数列的前n项和Sn满足 （1）求（2）由（1）猜想数列的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 7．试证当n为自然数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除