33_向量组的线性相关性.pptVIP

第3.3节 向量组的线性相关性 主要内容: 一．线性组合与线性表示 二．向量组的线性相关性 三．练习思考题 一、线性组合与线性表示 定义1：给定向量组 对于任何一组实数 向量 称为向量组A的一个 线性组合， 称为这个线性组合的系数。 定义2：给定向量组 和向量 如果存在一组实数 使得 则称向量 是向量组A的线性组合， 或称向量 能由向量组A线性表示。 例如： 有 所以，称 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。 定理1: 判断向量 可否由向量组 线性表示的定理。 向量 可由向量组 线性表示的 充分必要条件是： 以 为系数列向量，以 为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 线性方程组的矩阵表示和向量表示： 令 方程组可表示为 则方程组的向量表示为 二、向量组的线性相关性 几何意义： (1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面. 例1：用定义判断线性相关性。 (1) 向量 线性______关。 (2) 向量 线性______关。 相 相 定义3： 判断线性相关性的定理 至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示 向量组 线性相关 定理2： 推论： 向量组 线性无关 任一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示 (1) (2) n维向量组 线性相关 定理3: 推论： n维向量组 线性无关 解：设数 使得 成立。 即 未知量为 系数行列式 齐次线性方程组有 非零解，所以向量 线性相关。 向量 对应分量不成比例，所以线性无关。 例2 已知 ，试讨论向量组 的线性相关性。 例3: n维向量 讨论它们的线性相关性. 结论: 线性无关 解: 上述向量组又称 基本向量组或单位坐标向量组. 问题: n=3时, 分别是什么？ 线性相关及表示的定理 定理4： 向量组 线性无关, 而向量组 线性相关, 一些结论 (1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关； (2) 包含零向量的任何向量组线性相关； (4) 有两个向量相等的向量组线性相关； (3) 基本向量组 线性无关; 则向量 必能由向量组A线性表示，且表示式唯一. (5) mn时， m 个n维向量必线性相关. 特别：m=n+1 (6) n个n维向量线性无关 (7) n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n 向量. 它们所构成方阵的行列式不为零. 1：已知向量 线性无关， 证明：向量 线性无关。 三、练习思考题 思考题 证明　（１）、（２）略． （３）充分性 必要性 思考题解答