探究解析几何中四类定的问题.docVIP

探究解析几何中四类“定”的问题 陈熠林 从最近历年的高考试卷来分析，不难发现，解析几何不但是高中数学的重要组成部分之一，而且也是高考试卷上永远的宠儿。解析几何中“定”的问题是近几年高考中的热点问题，所以对解析几何中“定”的问题的研究就显得尤为必要．解析几何中的定值问题，一般是指在诸如动直线、动点、动园、动值等动态事物中寻求某一个不变量的一定值。定值问题经常以解答题的形式出现 有时还需要考生自己先尝试探究出定值，然后再根据自己的探究给出解答。下面对解析几何中几种“定”的问题加以探究分析，希望可以让学生增强领悟能力，增加日积月累，做题时能随机应变． 类型一、定直线问题 例1 已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且. (Ⅰ) 求椭圆的方程. (Ⅱ) 已知点和圆:,过点的动直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点,满足:,,(且).求证:点总在某定直线上. ，则y0+1=，得x0=，y0=，而点M在椭圆上，有，又c=1，所以椭圆方程为?（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由，得（1-x1，3-y1）=-λ（x2-1，y2-3），即?x1-λx2=（1-λ）?①???y1-λy2=3（1-λ）??②?由=?，得x1+λx2=（1+λ）x??③????y1+λy2=（1+λ）y，??④???∴①×③，得x12-λ2x22=（1-λ2）x?，?②×④，得y12-λ2y22=3y（1-λ2）???两式相加得（x12+y12）-?λ2（x22+y22）=（1-λ22）（x+3y），又点A，B在圆 x2+y2=b2上，由（1）知，即在圆x2+y2=3上，且λ≠±1， ?∴x12+y12=3，?x22+y22=3，即x+3y=3，∴点Q总在定直线x+3y=3上 点评：若从圆与直线相交入手，关键是联立它们的方程，所以需先设出直线方程，设直线方程需注意其斜率是否存在，然后联立方程，消去y，可得关于x的一元二次方程,这一步是容易出错的地方,而且这一步出错将直接影响后面的解题,再通过设而不求法即可解题.设而不求法的关键在于利用韦达定理,将韦达定理代入计算定值时,计算量是比较大的,所以也容易算错,而若从向量入手,则需将相关点坐标求出或设出,再通过分别将题中条件用向量坐标表示出来，这一步对同学们来讲不难做到。 类型二、定点问题 例2（2012 南通模拟） 已知圆O的方程为，直线过点A(3，0)，且与圆O相切。 （1）求直线的方程；（2）设圆O与X轴交于P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与X轴垂直的直线为，直线PM交直线于点,直线QM交直线于点，求证：以为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标。 分析 设出点M的坐标(s,t)，求出、的坐标（用(s,t)表示），即可写出以为直径的圆C的方程。 解 ：（1）设直线的方程（斜率不存在时，明显不符合要求），则圆心O到直线的距离为，解得，直线的方程为。 （2）对于圆，令,得,故可令P(-1，0),Q(1，0),又直线过点A且与x轴垂直，所以直线方程为x=3, 设M(s,t),则直线PM的方程为，解方程组，得，同理可得，Q(，∴以为直径的圆C的方程为 又,∴整理得，若圆C经过定点，只需令y=0，从而有，解得，∴圆C总经过定点，坐标为。 点评：本题第（1）问学生解答会比较完整，第（2）问得分估计不会太高，原因有二：一是写不出圆C的方程；二是整理得后，不知该如何解决定点问题。解决与圆有关的问题时，通常要注意以下几点：①利用点斜式求圆的切线方程，注意斜率不存在的情况；②两圆相切判断是内切还是外切；③判断直线与圆及圆与圆的位置关系，留心几何法的应用。 类型三、定圆问题 例3（2011年镇江一模） 已知椭圆E：＋＝1(ab0)的离心率为，且过点P(2，)，设椭圆E的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为.(1) 求椭圆E的方程及圆O的方程； (2) 若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上的任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上． ，知,,即椭圆E: ，把点代入得，由此能求出椭圆方程和圆的方程； （2）椭圆E的右准线l的方程为x=4,设l上取定的点M为(4,t),圆O上任意一点N为，定点Q为(x,y),因为NM与NQ的比是常数，且Q不同于M，所以，是正的常数且，即， 即， 由此入手能够导出点Q在圆心为半径为的定圆上，且定值为。解略。 点评：题中本身已有t（作为已知量），在解题过程中我们可以采用设而不求的方法，设出参数,,接下来就是消参数，能够把参数消去，题目也基本上就做出来了。 类型四：定值问题 例4（2011年南京模拟） 设