运筹学基础对策论.pptVIP

运筹学基础 * 4.4 矩阵对策的基本定理 引进两个记号： 当局中人Ⅰ取纯策略αi时,记其相应的赢得函数为E(i,y),于是 当局中人Ⅱ取纯策略β j时,记其相应的赢得函数为E(x,j),于是 由(2.3)和(2.4)可得 根据上面的记号，可以给出定理2的另一个等价形式 运筹学基础 * E(i,y*) ≤ E(x*,y*) ≤ E(x*,j) 定理3 设x*∈ S1* ,y*∈ S2*,则(x*, y*)是G的解的充要条件是：对任意i=1,2, …,m和j=1,2, …,n，有 证： “必要性” 设(x*, y*)是G的解，由定理2可得 E(x, y*) ≤ E(x*, y*) ≤ E(x*, y) 由于纯策略是混合策略的特例，所以 E(i, y*) ≤ E(x*, y*) ≤ E(x*, j) “充分性” 因为 即满足定理2的条件，所以(x*,y*)是G的解。 证毕。 运筹学基础 * 定理4 设x*∈ S1*, y*∈ S2*,则(x*, y*)是G的解的充要条件是：存在v,使得x*和y*分别是不等式组 和 的解，且v=VG 。 证： “必要性” 取v=E(x*, y*) 即满足不等式组。 “充分性” E(i, y*) ≤ E(x*, y*) ≤ E(x*, j) 所以 故(x*, y*)是G的解。 运筹学基础 * 4.4 矩阵对策的基本定理 定理5 对任一矩阵对策G = （S1，S2；A），一定存在混合策略意义下的解。 证明略。 运筹学基础 * 定理6 设(x*, y*)是矩阵对策G的解， v =VG，则 ⑴若xi*0, 则 ⑵若yj*0, 则 ⑷若 ⑶若 则xi*=0 则yj*=0 证： 因v是G的解，所以有 于是 又因 且xi ≥ 0 , i=1,2, …, m 所以当xi*0时, 必有 当 有xi*=0 即(1)和(3)成立。 同理可证(2)和(4)成立。 运筹学基础 * 定理7 设有两个矩阵对策 G1= {S1, S2;A1}，G2= {S1, S2;A2} ，其中A1 =(aij), A2 =(aij+L)，L为任一常数，则有⑴ VG2= VG1+L ⑵T(G1)=T(G2) 证： 设(x*, y*)是G2的解，则对任意的确i和j都有 E2 (i, y*) ≤ E2(x*, y*) ≤ E2 (x*, j) 又因 所以 E1 (i, y*) ≤ E1(x*, y*) ≤ E1 (x*, j) 即(x*, y*)是G1的解。 如果(x*, y*)是G1的解，同理可证也是G2的解。 且始终有VG2= E2(x*, y*)= E1 (x*, y*)+L= VG1+L 因此，定理成立。 # 运筹学基础 * 4.4 矩阵对策的基本定理 定理8 设有两个矩阵对策 G1= {S1, S2; A}，G2= {S1, S2; αA} ，其中α0为任一常数，则有 ⑴ VG2= α VG1 ⑵ T(G1)=T(G2) 定理9 设 G= {S1, S2; A}，且A= ﹣AT 为斜对称矩阵(亦称这种对策为对称对策)，则⑴ VG=0, (2) T1 (G)=T2 (G) 其中T1 (G)和T2 (G) 分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优策略集。 运筹学基础 * 4.4 矩阵对策的基本定理 定义5 设G={S1 , S2; A}为矩阵对策，其中S1={α1,α2, …,αm}，S2={ β1, β2, …, βn}，A= (aij)m×n。如果对一切 j=1,2, …,n,都有ai0j≥ ak0j 即矩阵A的第i0行均不小于第k0行的对应元素，则称局中人Ⅰ的纯策略αi0优超于αk0 ；同样，若对一切i= 1,2, …,m, 都有aij0≤ ail0即矩阵A的第l0列均不小于第j0列的对应元素，则称局中人Ⅱ的纯策略βj0优超于βl0。 运筹学基础 * 4.4 矩阵对策的基本定理 定理10 设G={S1, S2; A}为矩阵对策，其中S1={α1,α2, …,αm}，S2={ β1, β2, …, βn} ，A=(aij)m×n 。如果纯策略α1被α2, …, αm中之一所优超 ，由G可得到一个新的矩阵对策G′: G′= {S1′, S2；A′}其中S1′= {α2, …, αm}，A′=(aij ′)(m－1)×n aij ′= aij , i=2, …, m, j=1,2, …,n ,则⑴VG′ =VG ； ⑵ G′中局中人Ⅱ的最优策略就是其在G中的最优策略； ⑶若(x2*, …, xm*)T是G′中局中人Ⅰ的最优策略，则x*= (0，x2*, …, xm*)T便是其在G中的最优策略。 运筹学基础 * 推论 ：在定理10中，