误差复习和预备.pptVIP

* 求解析解，解以表达式表示，这是准确解。 求数值解，解是以一些离散点上取值的形式表示，多数情况下，数值解是近似的，求数值解要用计算机。求数学模型数值解的方法称为数值计算方法。 选择计算方法以后进行程序设计，即用程序语言(Matlab、Fortran)把算法编成程序，然后上机得出数值解。 实际问题-----数学问题(建模)---构造数值计算方法---程序设计---上机计算---数值解---结果分析 数值计算对算法的要求 1.只能包括计算机能够直接处理的运算,即加减乘除等基本运算。 2.能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和稳定性。 3.计算时间少，存储空间小。 4.数值试验证明算法有效。 1.截断误差(方法误差)---数学模型的准确解与利用数值计算方法得到的准确解之差。 无穷过程用有穷项代替 例如:无穷级数 取前n项代替 截断误差 用有限的过程代替无限的过程，和用简单的计算问题 代替复杂的计算问题所产生 的误差。 2.舍入误差 ：计算工具字长是有限位，在计算时只能对有限位数字进行运算，超过这个位数时，要舍入，于是产生舍入误差。原始数据、中间步骤和最终结果都可能产生舍入误差。 如圆周率3… 一般实数不能精确存储，例如：在10位十进制数限制下： 3 有效数字：由绝对误差决定。 1).用四舍五入得到的近似数的误差限是末位的半个单位。近似数的误差限是末位的半个单位，则有n位有效数字。因此用四舍五入得到的近似数是有效数字。 2).在公式运算中，要先区分准确量和近似数。准确数有无穷多位有效数字. 3).有效数字位与小数点后有多少位数无直接关系。 4 数值稳定性和减小运算误差 1) 要避免两相近数相减。 2) 要防止大数吃掉小数 。 3) 要避免除数绝对值远小于被除数绝对值 。 4) 注意简化计算步骤，减少运算次数 。 例：计算积分 写成递推公式 误差传递规律 公式改为 则误差按规律 逐渐缩小 数值稳定性: 一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳定性。否则，就称数值稳定性不好。因此要设法控制误差的传播 。 要避免相近两数相减 13.5846-13.5839=0.0007 6位有效数字变成了1位有效数字。损失了有效数字的位数。 *