电动力学唯一性定理.pptVIP

* * 第二章第二节 西华师范大学重点建设课程 唯一性定理 §2.2 唯一性定理 、泊松方程和边界条件 二、唯一性定理的内容 三、唯一性定理的意义 主要内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束 、泊松方程和边界条件 假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。 设V内所求电势为 ，它们满足泊松方程 两类边界条件：① 边界S上， 为已知，若为导体 =常数。② 边界S上， 为已知， 给定（ ） 定总电荷Q。它相当于 若是导体要给 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内边界条件为边值关系 注：在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体面上的边界条件可视为外边界条件。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ： V内两介质分界面上自由电荷为零 二、唯一性定理 1．均匀单一介质 电场）唯一确定。 分布已知， 满足 若V边界上 已知，或V边界上 已知，则 V 内场（ 静 区域内 证明： 假定泊松方程有两个解 ，有 在边界上 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由格林第一公式 令 则 由于 积分为零必然有 常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）若给定的是第一类边值关系 即常数为零。 电场唯一确定且 电势也是唯一确定的。 虽不唯一，但电场 （2）若给定的是第二类边值关系 常数， 相差一个常数， 是唯一确定的。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 介质分区均匀（不包含导体） 已知， 成立，给定区域 或 。在分界面上， 或 V 内 （证明见书P．60） s v 区域V内电场唯一确定 机动 目录 上页 下页 返回 结束 均匀单一介质中有导体（证明见教材） Q2 Q1 ε S S1 S2 V （或 Q1、Q2 ）为已知，则区域 V 已知， 或 、 内电场唯一确定。 当 ，求 内的电势。 导体中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、唯一性定理的意义 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、应用举例 半径为a的导体球壳接地 壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。 解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地 因而腔内场唯一确定。 Q 不满足 已知点电荷产生的电势为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 但它在边界上 要使边界上任何一点电势为0 ， 设 它满足 根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。 可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *