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* * 现代控制理论第十四讲 1、李雅普诺夫在线性系统中的应用 线性定常连续系统渐近稳定性判根据 线性时变连续系统渐近稳定性判根据 线性定常离散时间系统渐近稳定性判根据 线性时变离散系统渐近稳定性判根据 2、李雅普诺夫在非线性系统中的应用 雅可比(Jacobian)矩阵法---克拉索夫斯基法 变梯度法 主要内容: 4－4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 一、线性定常连续系统渐近稳定判据 设线性定常连续系统为 则平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意 给定的正定实对称矩阵Q ，必存在正定的实对称矩阵P， 满足李雅普诺夫方程 ： 并且 是系统的李雅普诺夫函数 。 证明： 设P为n╳n维正定实对称矩阵，则 是正定的，可选为李雅普诺夫函数。 欲使系统在原点渐近稳定，则要求 必须负定，即 式中： 即： 是正定的。 应用判据时应该注意的问题： （1） 实际应用时，通常先选取一个正定的矩阵Q,代入李雅普诺夫方程解出矩阵P,然后根据希尔维斯特判据判定P的正定性,进而得出渐近稳定的结论。 （2）为了计算方便，常取Q=I，这时P满足： （3）若 沿任意一条轨迹不恒等于零，那么Q可以取为半正定的。 （4）上述判根据所确定的条件与矩阵A的特征值具有负实部的条件是等价的。 取： 【例4－9】 控制系统齐次状态方程为： 试分析其平衡状态的稳定性。 解：设 系统的平衡点是大范围渐近稳定的 【例4－10】 设系统的状态方程为： 试分析其平衡状态的稳定性。 解： 坐标原点Xe=0为系统唯一平衡状态。 即： 二、线性时变连续系统渐近稳定判据 设线性时变连续系统状态方程为 则系统在平衡点 处大范围渐近稳定的充要条件为：对 任意给定的连续对称正定矩阵Q（t）,必存在一个连续对称正 定矩阵P（t）,满足 ： 而系统的李雅普诺夫函数为 三、线性定常离散系统渐近稳定判据 设线性定常离散时间系统渐近状态方程为 则系统在平衡点 处大范围渐近稳定的充要条件为：对 任意给定的连续对称正定矩阵Q,必存在一个连续对称正定矩阵 P,满足 ： 而系统的李雅普诺夫函数为 【例4－11】 设线性离散系统状态方程为： 试分析其平衡状态的稳定性。 解：设 整理化简得： 要使P为正定的实对称矩阵，必须满足 四、线性时变离散系统渐近稳定判据 设线性定常离散时间系统渐近状态方程为 则系统在平衡点 处大范围渐近稳定的充要条件为：对 任意给定的连续对称正定矩阵Q(k),必存在一个连续对称正定 矩阵P(k),满足 ： 而系统的李雅普诺夫函数为 §4-- 6 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 线性系统的稳定性 具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。 非线性系统的稳定性 可能只具有局部性质。例如，不是大范围渐近稳定的 平衡状态，却可能是局部渐近稳定的，而局部不稳定的平 衡状态并不能说明系统就是不稳定的。此外，李雅普诺夫 第二法只给出判断非线性系统渐近稳定的充分条件，而不 是必要条件。 一、雅可比(Jacobian)矩阵法即克拉索夫斯基法 考虑如下非线性系统 式中,x为n维状态向量， 为 的非线性n维矢 量函数，假定原点是平衡状态，且对各状态变量可微。 系统的雅可比矩阵定义为 则系统在原点渐近稳定的充要条件是：任意给定正定实对称阵P, 是下列矩阵: 为正定的，并且 是系统的一个李雅普诺夫函数 若随着 还有 则平衡状态是大范围渐近稳定的。 证明: 选取二次型函数 为李雅普诺夫函数,因为P为正定矩阵 , 因此 正定 要使系统渐近稳定, 必须是负定的,即 必须是正定的 注意： 要使 为正定,必须使 对角线上的所有元素不恒 为零。如果 不含 ,那么 主对角线上的元素 必恒为零,则 就不可能是正定的,因而系统的平衡点 也就不可能是渐近稳定的。 如果取 P=I 则 称为克拉索夫斯基法表达式 非线性系统使用这个判据的主要困难 对于所有 要求 均为正定。 推论： 对于线性定常系统 ，若矩阵A非